前言
线性回归：是一种通过属性的线性组合来进行预测的线性模型
其目的是找到一条直线或者一个平面或者更高维的超平面，使得预测值与真实值之间的误差最小化。
一、单变量线性回归
1.导入必要的库
导入pandas、numpy和matplotlib.pyplot库
import pandas as pd #导入pandas库 import numpy as np #导入numpy库 import matplotlib.pyplot as plt #导入matplotlib.pyplot库 plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #用来正常显示中文标签 plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #用来正常显示负号
2.读取数据
使用pandas库的read_csv()函数读取数据文件，数据文件中包含了人口和收益两列数据
data=pd.read_csv(r"d:线性回归/regress_data1.csv") #读取数据
3.绘制散点图
使用data.plot()函数绘制散点图，展示人口与收益之间的关系
data.plot(kind="scatter",x="人口",y="收益") #绘制散点图 plt.xlabel("人口",fontsize=10) #横坐标 plt.ylabel("收益",fontsize=10) #纵坐标 plt.title("人口与收益之间的关系") #标题 plt.show() #画图
4.划分数据
这里是为了方便后面计算，将一列全为1的列插入到数据中
将数据分为训练集和测试集，这里只使用了训练集
data.insert(0,"ones",1) #插入列，便于后面计算 col_num=data.shape[1] #训练特征个数 m=data.shape[0] #训练标签个数 X=data.iloc[:,:col_num-1].values #训练集的特征 y=data.iloc[:,col_num-1].values #训练集的标签 y=y.reshape((m,1))
5.定义模型函数
定义h(X,w)函数用来计算模型预测值，这里采用的是线性模型
def h(X,w): return X@w
6.定义损失函数
定义cost(X,y,w)函数用来计算模型误差
def cost(X,y,w): return np.sum(np.power(h(X,w)-y,2))/(2*m)
7.求权重向量w
7.1 梯度下降函数
定义函数gradient_descent(X,y,w,n,a)用来执行梯度下降算法，更新权重向量w，并返回最终的权重向量和误差列表
def gradient_descent(X,y,w,n,a): t=w cost_lst=[] for i in range(n): error=h(X,w)-y for j in range(col_num-1): t[j][0]=w[j][0]-((a/m)*np.sum(error.ravel()*X[:,j].ravel())) w=t cost_lst.append(cost(X,y,w)) return w,cost_lst
7.2 最小二乘法
定义函数least_square(X,y)用来执行最小二乘法，直接求出权重向量w，但是当n>10000时由于时间复杂度太大将导致程序运行超时
def least_square(X,y): w=np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y return w
8.训练模型
调用gradient_descent()函数训练模型，并输出误差随迭代次数变化的图像，用来观察模型的学习效果
其中，迭代次数越大，训练效果越好，学习率适中，既不可太大，也不可过小
n=10000 #迭代次数越多越好 a=0.003 #学习率适中，不能太大，也不能太小 w=np.zeros((col_num-1,1)) #初始化权重向量 w,cost_lst=gradient_descent(X,y,w,n,a) #调用梯度下降函数 plt.plot(range(n),cost_lst,"r-+") plt.xlabel("迭代次数") plt.ylabel("误差") plt.show()
9.绘制预测曲线
使用训练好的权重向量w绘制预测曲线，并将其与原始数据一起绘制在图像上，用来观察模型的预测效果
x=np.linspace(data["人口"].min(),data["人口"].max(),50) #预测特征 y1=w[0,0]*1+w[1,0]*x #预测标签 plt.scatter(data["人口"],data["收益"], label='训练数据') #训练集 plt.plot(x,y1,"r-+",label="预测线") #预测集 plt.xlabel("人口",fontsize=10) plt.ylabel("收益",fontsize=10) plt.title("人口与收益之间的关系") plt.show()
10.试试正则化
使用L2正则化（岭回归）防止过拟合
def gradient_descents(X,y,w,n,a,l): t=w cost_lst=[] for i in range(n): error=h(X,w)-y for j in range(col_num-1): t[j][0]=w[j][0]-((a/m)*(np.sum(error.ravel()*X[:,j].ravel())+2*l*w[j,0])) w=t cost_lst.append(cost(X,y,w)) return w,cost_lst n=10000 #迭代次数越多越好 a=0.003 #学习率适中，不能太大，也不能太小 l=1 #λ w=np.zeros((col_num-1,1)) w,cost_lst=gradient_descents(X,y,w,n,a,l) plt.plot(range(n),cost_lst,"r-+") plt.xlabel("迭代次数") plt.ylabel("误差") plt.show()
11.绘制预测曲线
使用训练好的权重向量w绘制预测曲线，并将其与原始数据一起绘制在图像上，用来观察模型的预测效果
x=np.linspace(data["人口"].min(),data["人口"].max(),50) y1=w[0,0]*1+w[1,0]*x plt.scatter(data["人口"],data["收益"], label='训练数据') plt.plot(x,y1,"r-+",label="预测线") plt.xlabel("人口",fontsize=10) plt.ylabel("收益",fontsize=10) plt.title("人口与收益之间的关系") plt.show()
12.试试sklearn库
import pandas as pd #导入pandas库 import numpy as np #导入numpy库 import matplotlib.pyplot as plt #导入matplotlib.pyplot库 import sklearn #导入sklearn库 from sklearn import linear_model plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #用来正常显示中文标签 plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #用来正常显示负号 # 2.读取数据：使用pandas库的read_csv()函数读取数据文件。数据文件中包含了人口和收益两列数据。 data=pd.read_csv(r"d:线性回归/regress_data1.csv") #读取数据 data.insert(0,"ones",1) #插入列 col_num=data.shape[1] #列数 m=data.shape[0] #行数 # 5.划分数据：将数据分为训练集和测试集，这里只使用了训练集。 X=data.iloc[:,:col_num-1].values #训练集的特征 y=data.iloc[:,col_num-1].values #训练集的标签 y.reshape((m,1)) mod=linear_model.LinearRegression() mod.fit(X,y) Y=mod.predict(X) plt.scatter(X[:,1],y,marker='o',color='b') plt.plot(X,Y,marker='+',color='r') plt.xlabel("人口") plt.ylabel("收益") plt.show()
二、多变量线性回归
1.导入库
import pandas as pd #导入pandas库 import numpy as np #导入numpy库 import matplotlib.pyplot as plt #导入matplotlib.pyplot库 plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #用来正常显示中文标签 plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #用来正常显示负号
2.读取数据
datas=pd.read_csv(r"d:/线性回归/regress_data2.csv") #读取数据 datas=(datas-datas.mean())/datas.std() #正则化
3.划分数据
datas.insert(0,'ones',1) #插入列 col_num=datas.shape[1] #训练特征个数 m=datas.shape[0] #训练标签 X=datas.iloc[:,:col_num-1].values #训练特征 y=datas.iloc[:,col_num-1].values #训练标签 y=y.reshape((m,1))
4.定义假设函数
def h(X,w): return X@w
5.定义损失函数
def cost(X,y,w): return np.sum(np.power(h(X,w)-y,2))/(2*m)
6.定义梯度下降函数
def gradient_descent(X,y,w,n,a): t=w cost_lst=[] for i in range(n): error=h(X,w)-y for j in range(col_num-1): t[j,0]=w[j,0]-((a/m)*np.sum(error.ravel()*X[:,j].ravel())) w=t cost_lst.append(cost(X,y,w)) return w,cost_lst
7.训练模型
n=1000 #迭代次数 a=0.01 #学习率 w=np.zeros((col_num-1,1)) #初始化特征向量w w,cost_lst=gradient_descent(X,y,w,n,a) plt.plot(range(n),cost_lst,'r+-') plt.xlabel("迭代次数") plt.ylabel("误差") plt.show()
8.运用sklearn绘图
import pandas as pd import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn import linear_model from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 读取数据 datas = pd.read_csv(r"d:线性回归/regress_data2.csv") datas = (datas - datas.mean()) / datas.std() X = datas.iloc[:, :-1].values y = datas.iloc[:, -1].values.reshape(-1, 1) # 多项式回归 poly = PolynomialFeatures(degree=2) X_poly = poly.fit_transform(X) mod = linear_model.LinearRegression() mod.fit(X_poly, y) # 绘制拟合曲线 x1 = np.linspace(datas["面积"].min(), datas["面积"].max(), 50) x2 = np.linspace(datas["房间数"].min(), datas["房间数"].max(), 50) x1, x2 = np.meshgrid(x1, x2) X_grid = np.column_stack((x1.flatten(), x2.flatten())) X_grid_poly = poly.fit_transform(X_grid) y_pred = mod.predict(X_grid_poly) fig=plt.figure() ax = fig.add_subplot(projection='3d') ax.scatter(X[:,0], X[:,1], y, marker='o', color='b') ax.plot_surface(x1, x2, y_pred.reshape(x1.shape), cmap='coolwarm') ax.set_title("价格随面积与房间数的变化曲面") ax.set_xlabel("面积") ax.set_ylabel("房间数") ax.set_zlabel("价格") plt.show()
总结
线性回归三大要素
- 假设函数 h(X,w)
- 损失函数 cost(X,y,w)
- 梯度下降/最小二乘函数（求解权重向量w的函数）
普通线性回归步骤
- 导入库
- 读取数据
- 划分数据
- 假设函数（模型函数）
- 损失函数
- 梯度下降/最小二乘
- 训练模型
- 绘图预测
调用sklearn库进行线性回归的步骤
- 导入库
- 读取数据
- 调用sklearn库
- 绘图
