如何衡量一个算法的好坏
我们知道一道题，有许多种代码可以实现它。但是我们应该怎么去选择呢？
比如博主在前面讲过的斐波那契数，我们可以用递归和循环来实现。那么到底那一种方法好呢？为什么？该如何衡量一个算法的好坏呢？这就涉及到了一个新的概念——算法效率
算法效率
算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间
在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
时间复杂度
时间复杂度的概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。
但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
求时间复杂度我们使用大O渐近表示法
大O渐近表示法
比如我现在有以下程序，我们来看一下它执行了多少次？
void func1(int N){ int count = 0; for (int i = 0; i < N ; i++) { for (int j = 0; j < N ; j++) { count++; } } for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) { count++; } int M = 10; while ((M--) > 0) { count++; } System.out.println(count); }
我们对此程序进行分析得
所以总的Func1 执行的基本操作次数 ：
当我们得N不同时，执行次数也就不同
- N = 10 F(N) = 130
- N = 100 F(N) = 10210
- N = 1000 F(N) = 1002010
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐近表示法。
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐近行为的数学符号
我们该如何使用大O的渐近表示法呢？
其实当我们写出了Func1 执行的基本操作次数后，我们只需要对该次数得表达式进行简单得推导就好
推导大O阶方法
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
- 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为
这时候我们对N进行不同赋值时
- N = 10 F(N) = 100
- N = 100 F(N) = 10000
- N = 1000 F(N) = 1000000
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
- 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
- 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
- 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
- 最好情况：1次找到
- 最坏情况：N次找到
- 平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
常见的时间复杂度计算
计算分为两步
- 计算程序执行次数
- 推导大O阶方法
【实例1】
void func2(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) { count++; } int M = 10; while ((M--) > 0) { count++; } System.out.println(count); }
第一步
第二步，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)
【实例2】
void func3(int N, int M) { int count = 0; for (int k = 0; k < M; k++) { count++; } for (int k = 0; k < N ; k++) { count++; } System.out.println(count); }
第一步，计算程序执行次数
第二步，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)
【实例三】
void func4(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 100; k++) { count++; } System.out.println(count); }
第一步，计算程序次数
第二步，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)
【实例四】
void bubbleSort(int[] array) { for (int end = array.length; end > 0; end--) { boolean sorted = true; for (int i = 1; i < end; i++) { if (array[i - 1] > array[i]) { Swap(array, i - 1, i); sorted = false; } } if(sorted == true) { break; } } }
第一步，计算程序执行次数
此代码为冒泡排序，我们发现它的每一次循环的执行次数构成等差数列
我们只需要用等差数列求和公式进行求和即可。所以程序的总次数为：(N*(N-1))/2次
第二步，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)
【实例五】
int binarySearch(int[] array, int value) { int begin = 0; int end = array.length - 1; while (begin <= end) { int mid = begin + ((end-begin) / 2); if (array[mid] < value) begin = mid + 1; else if (array[mid] > value) end = mid - 1; else return mid; } return -1; }
第一步，计算程序执行次数
此代码为一个二分查找，每一次查找，所查找查找数据都会减半，直到数据量减为1；
我们通过简单的观察和思考后不难得出执行次数为：
第二步，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，所以时间复杂度为
在算法分析中表示是底数为2，对数为N，有些地方会写成lgN。
【实例六】
long factorial(int N) { return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N; }
第一步，通过计算分析不难发现发现基本操作递归了N次
第二不，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(N)
【实例七】
int fibonacci(int N) { return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2); }
第一步，计算总执行次数，通过画图我们发现它的执行次数是一个等比数列
我们只需要使用等比数列求和公式就可以了，得出为
第二步，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏,所以时间复杂度为O(2^N)
空间复杂度
空间复杂度是对一个算法在运行过程中==临时占用存储空间大小的量度 ==。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法
空间复杂度计算
【实例一】
void bubbleSort(int[] array) { for (int end = array.length; end > 0; end--) { boolean sorted = true; for (int i = 1; i < end; i++) { if (array[i - 1] > array[i]) { Swap(array, i - 1, i); sorted = false; } } if(sorted == true) { break; } } }
实例1使用了常数个额外空间，也就是创建了sorted变量，所以空间复杂度为 O(1)
【实例二】
int[] fibonacci(int n) { long[] fibArray = new long[n + 1]; fibArray[0] = 0; fibArray[1] = 1; for (int i = 2; i <= n ; i++) { fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2]; } return fibArray; }
实例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)
【实例三】
long factorial(int N) { return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N; }
实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)
总结
关于《 【数据结构】 时间和空间复杂度》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！
