【动态规划刷题 13】最长递增子序列&& 摆动序列

300. 最长递增子序列

链接: 300. 最长递增子序列

1.状态表示*

dp[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的「所有⼦序列」中，最⻓递增⼦序列的⻓度。

2.状态转移方程

对于 dp[i] ，我们可以根据「⼦序列的构成⽅式」，进⾏分类讨论：

1. i. ⼦序列⻓度为 1 ：只能⾃⼰玩了，此时 dp[i] = 1 ；ii. ⼦序列⻓度⼤于 1 ： nums[i] 可以跟在前⾯任何⼀个数后⾯形成⼦序列。 设前⾯的某⼀个数的下标为 j ，其中 0 <= j <= i - 1 。

只要 nums[j] < nums[i] ， i 位置元素跟在 j 元素后⾯就可以形成递增序列，⻓度

为 dp[j] + 1 。

因此，我们仅需找到满⾜要求的最⼤的 dp[j] + 1 即可。

综上， dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]) ，其中 0 <= j <= i - 1 && nums[j]< nums[i]

3. 初始化

所有的元素「单独」都能构成⼀个递增⼦序列，因此可以将 dp 表内所有元素初始化为 1 。

4. 填表顺序

显⽽易⻅，填表顺序「从左往右」

5. 返回值

由于不知道最⻓递增⼦序列以谁结尾，因此返回 dp 表⾥⾯的「最⼤值」。

代码：

 int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
      int n=nums.size();
        vector<int> dp(n,1);
        int Max=1;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            for(int j=0;j<i;j++)
            {
                if(nums[i]>nums[j])
                dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
            }
            Max=max(Max,dp[i]);
        }
        return Max;
    }

376. 摆动序列

链接: 376. 摆动序列

如果连续数字之间的差严格地在正数和负数之间交替，则数字序列称为 摆动序列 。第一个差（如果存在的话）可能是正数或负数。仅有一个元素或者含两个不等元素的序列也视作摆动序列。

例如， [1, 7, 4, 9, 2, 5] 是一个 摆动序列 ，因为差值 (6, -3, 5, -7, 3) 是正负交替出现的。

相反，[1, 4, 7, 2, 5] 和 [1, 7, 4, 5, 5] 不是摆动序列，第一个序列是因为它的前两个差值都是正数，第二个序列是因为它的最后一个差值为零。

子序列 可以通过从原始序列中删除一些（也可以不删除）元素来获得，剩下的元素保持其原始顺序。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中作为 摆动序列 的 最长子序列的长度 。

示例 1：

输入：nums = [1,7,4,9,2,5]

输出：6

解释：整个序列均为摆动序列，各元素之间的差值为 (6, -3, 5, -7, 3) 。

示例 2：

输入：nums = [1,17,5,10,13,15,10,5,16,8]

输出：7

解释：这个序列包含几个长度为 7 摆动序列。

其中一个是 [1, 17, 10, 13, 10, 16, 8] ，各元素之间的差值为 (16, -7, 3, -3, 6, -8) 。

示例 3：

输入：nums = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]

输出：2

1.状态表示*

1. f[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的所有的⼦序列中，最后⼀个位置呈现「上升趋势」的最⻓摆动序列的⻓度；
2. g[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的所有的⼦序列中，最后⼀个位置呈现「下降趋势」的最⻓摆动序列的⻓度。

2.状态转移方程

由于⼦序列的构成⽐较特殊， i 位置为结尾的⼦序列，前⼀个位置可以是 [0, i - 1] 的任意位置，因此设 j 为 [0, i - 1] 区间内的某⼀个位置。

对于 f[i] ，我们可以根据「⼦序列的构成⽅式」，进⾏分类讨论：

1. i. ⼦序列⻓度为 1 ：只能⾃⼰玩了，此时 f[i] = 1
2. ii. ⼦序列⻓度⼤于 1 ：因为结尾要呈现上升趋势，因此需 nums[j] < nums[i] 在满 ⾜这个条件下， j 结尾需要呈现下降状态，最⻓的摆动序列就是 g[j] + 1
   因此我们要找出所有满⾜条件下的最⼤的 g[j] + 1 。

综上， f[i] = max(g[j] + 1, f[i]) ，注意使⽤ g[j] 时需要判断。

g[i]则类似。

3. 初始化

所有的元素「单独」都能构成⼀个摆动序列，因此可以将 dp 表内所有元素初始化为 1 。

4. 填表顺序

显⽽易⻅，填表顺序「从左往右」

5. 返回值

应该返回「两个 dp 表⾥⾯的最⼤值」，我们可以在填表的时候，顺便更新⼀个「最⼤值」

代码：

 int n=nums.size();
        vector<int> f(n,1),g(n,1);
        int Max=1;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            for(int j=0;j<i;j++)
            {
                if(nums[i]>nums[j])
                {
                    f[i]=max(f[i],g[j]+1);
                }
                if(nums[i]<nums[j])
                {
                    g[i]=max(f[j]+1,g[i]);
                }
                Max=max(Max,max(g[i],f[i]));
            }
        }
        return Max;