【动态规划刷题 11】等差数列划分&& 最长湍流子数组

413. 等差数列划分

链接: 413. 等差数列划分

如果一个数列 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。

例如，[1,3,5,7,9]、[7,7,7,7] 和 [3,-1,-5,-9] 都是等差数列。

给你一个整数数组 nums ，返回数组 nums 中所有为等差数组的 子数组 个数。

子数组 是数组中的一个连续序列。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,4]

输出：3

解释：nums 中有三个子等差数组：[1, 2, 3]、[2, 3, 4] 和 [1,2,3,4] 自身。

示例 2：

输入：nums = [1]

输出：0

1.状态表示*

dp[i] 表⽰必须「以 i 位置的元素为结尾」的等差数列有多少种

2.状态转移方程

对于 dp[i] 位置的元素 nums[i] ，会与前⾯的两个元素有下⾯两种情况：

1. i. nums[i - 2], nums[i - 1], nums[i] 三个元素不能构成等差数列：那么以 nums[i]为结尾的等差数列就不存在此时 dp[i] = 0 ；
2. ii. nums[i - 2], nums[i - 1], nums[i] 三个元素可以构成等差数列：那么以 nums[i - 1] 为结尾的所有等差数列后⾯填上⼀个 nums[i] 也是⼀个等差数列，此时 dp[i] = dp[i - 1] 。但是，因为 nums[i- 2], nums[i - 1], nums[i] 三 者⼜能构成⼀个新的等差数列，因此要在之前的基础上再添上⼀个等差数列，于是 dp[i] = dp[i - 1] + 1
3. 3. 初始化

由于需要⽤到前两个位置的元素，但是前两个位置的元素⼜⽆法构成等差数列，因此 dp[0] =dp[1] = 0 。

4. 填表顺序

根据「状态转移⽅程」易得，填表顺序为「从左往右」

5. 返回值

因为我们要的是所有的等差数列的个数，因此需要返回整个 dp 表⾥⾯的元素之和。

代码：

int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        vector<int> dp(n);
        int sum=0;
        for(int i=2;i<n;i++)
        {
           if(nums[i]-nums[i-1]==nums[i-1]-nums[i-2])
           {
               dp[i]=dp[i-1]+1;
               sum+=dp[i];
           }
        }
        return sum;
    }

978. 最长湍流子数组

链接: 978. 最长湍流子数组

给定一个整数数组 arr ，返回 arr 的 最大湍流子数组的长度 。

如果比较符号在子数组中的每个相邻元素对之间翻转，则该子数组是 湍流子数组 。

更正式地来说，当 arr 的子数组 A[i], A[i+1], …, A[j] 满足仅满足下列条件时，我们称其为湍流子数组：

若 i <= k < j ：

当 k 为奇数时， A[k] > A[k+1]，且

当 k 为偶数时，A[k] < A[k+1]；

或 若 i <= k < j ：

当 k 为偶数时，A[k] > A[k+1] ，且

当 k 为奇数时， A[k] < A[k+1]。

示例 1：

输入：arr = [9,4,2,10,7,8,8,1,9]

输出：5

解释：arr[1] > arr[2] < arr[3] > arr[4] < arr[5]

示例 2：

输入：arr = [4,8,12,16]

输出：2

示例 3：

输入：arr = [100]

输出：1

1.状态表示*

需要两个 dp 表：

1. f[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的所有⼦数组中，最后呈现「上升状态」下的最⻓湍流数组的⻓度；
2. g[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的所有⼦数组中，最后呈现「下降状态」下的最⻓湍流数组的⻓度

2.状态转移方程

对于 i 位置的元素 arr[i] ，有下⾯两种情况：

1. i. arr[i] > arr[i - 1] ：如果 i 位置的元素⽐ i - 1 位置的元素⼤，说明接下来 应该去找 i -1 位置结尾，并且 i - 1 位置元素个元素⼩的序列，那就是 g[i- 1] 。更新 f[i] 位置的值： f[i] = g[i - 1] + 1 ；
   
2. ii. arr[i] < arr[i - 1] ：如果 i 位置的元素⽐ i - 1 位置的元素⼩，说明接下来 应该去找 i - 1位置结尾，并且 i - 1 位置元素⽐前⽐前⼀⼀个元素⼤的序列，那就是 f[i - 1] 。更新 g[i] 位置的值： g[i] = f[i- 1] + 1 ；
   
3. ii. arr[i] == arr[i - 1] ：不构成湍流数组。
   

初始化

所有的元素「单独」都能构成⼀个湍流数组，因此可以将 dp 表内所有元素初始化为 1 。 由于⽤到前⾯的状态，因此我们循环的时候从第⼆个位置开始即可

4. 填表顺序

根「从左往右，两个表⼀起填」

5. 返回值

应该返回「两个 dp 表⾥⾯的最⼤值」

代码：

int maxTurbulenceSize(vector<int>& arr) {
        int n=arr.size();
        vector<int> f(n,1),g(n,1);
        int len=1;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            if(arr[i]>arr[i-1])
            {
                f[i]=g[i-1]+1;
            }
            if(arr[i]<arr[i-1])
            {
                g[i]=f[i-1]+1;
            }
            len=max(len,max(f[i],g[i]));
        }
        return len;
    }