3.5 稀疏矩阵
在许多问题中提到了含有大量0元素的矩阵，这样的矩阵称为稀疏矩阵。为了节省存储空间和计算时间，MATLAB考虑到矩阵的稀疏性，在对它进行运算时有特殊的命令。
一个稀疏矩阵中有许多元素等于零，这便于矩阵的计算和保存。如果MATLAB把一个矩阵当作稀疏矩阵，那么只需在m×3的矩阵中存储m个非零项。第1列是行下标，第2列是列下标，第3列是非零元素值，不必保存0元素。如果存储每个浮点数需要8字节，存储每个下标需要4字节，那么整个矩阵在内存中存储需要16×m字节。
例3-51：稀疏矩阵与普通矩阵示例。
在命令行窗口中输入：
A = eye(1000); % 得到一个1000×1000的单位矩阵 B = speye(1000); % 得到一个1000×3的矩阵，每行包含行下标、列下标及元素本身
上例中的矩阵A存储需要8MB空间，而稀疏矩阵B存储只需16KB空间，其所需空间只是单位矩阵的0.2%。对于许多的广义矩阵也可这样来做。
前面章节中的算术运算和逻辑运算都适用于稀疏矩阵。而相对于普通矩阵来说，稀疏矩阵的计算速度更快，因为MATLAB只对非零元素进行操作，这是稀疏矩阵第二个突出的优点。例如，在上例中，2∙A需要100万次浮点运算，而计算2∙B只需要2000次浮点运算。因为MATLAB不能自动创建稀疏矩阵，所以要用特殊的命令来得到稀疏矩阵。
稀疏矩阵大部分元素是0，因此只需存储非零元素的下标和元素值，这种特殊的存储方式可以节省大量的存储空间和不必要的运算。
3.5.1 稀疏矩阵的存储方式
对于稀疏矩阵，MATLAB仅存储矩阵所有的非零元素的值及其位置（行号和列号）。显然，这对于具有大量0元素的稀疏矩阵来说是十分有效的。
设矩阵
是具有稀疏矩阵特征的矩阵，其完全存储方式是按列存储的全部12个元素：1,0,2,0,5,0,0,0,0,0,0,7；其稀疏存储方式为：(1,1),1,(3,1),2,(2,2),5,(3,4),7。
其中，括号内为元素的行列位置，后面为元素值。当矩阵非常“稀疏”时，会有效地节省存储空间。
3.5.2 稀疏矩阵的生成
MATLAB中提供了多种创建稀疏矩阵的方法。
● 利用sparse函数由满矩阵转换得到稀疏矩阵。
● 利用一些特定函数创建包括单位稀疏矩阵在内的特殊稀疏矩阵。
1．利用sparse函数创建一般稀疏矩阵
稀疏矩阵的指令集如表3-4所示。
表3-4 稀疏矩阵的指令集
例3-52：输入一个稀疏矩阵示例。
在命令行窗口中输入：
S = sparse([1,2,3,4,5],[2,1,4,6,2],[10,3,-2,-5,1],10,12)
结果如下：
S = (2,1) 3 (1,2) 10 (5,2) 1 (3,4) -2 (4,6) -5
在命令行窗口中输入：
full(S)
结果如下：
ans = 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
此外，sparse函数还可以将一个满矩阵转换成一个稀疏矩阵，相应的调用格式如下。
● S=sparse(X)：X为满矩阵。
例如矩阵A= 
，
输入命令：
A = [1 0 0 0;0 5 0 0;2 0 0 7] S = sparse(A)
得到结果如下：
A = 1 0 0 0 0 5 0 0 2 0 0 7 S = (1,1) 1 (3,1) 2 (2,2) 5 (3,4) 7
反之，MATLAB中提供了full()函数把稀疏矩阵转换为满矩阵。full()函数的调用格式如下。
● A=full(S)：S为稀疏矩阵。
例如将上例中得到的稀疏矩阵S转换为满矩阵。
输入命令：
B = full(S)
得到结果如下：
B = 1 0 0 0 0 5 0 0 2 0 0 7
例3-53：将普通矩阵转换为稀疏矩阵示例。
在命令行窗口中输入：
clear all A = rand(16,9) > 0.95 S = sparse(A) % 创建稀疏矩阵 whos
输出结果：
A = 16×9 logical 数组 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S = 16×9 稀疏 logical 数组 (4,1) 1 (5,1) 1 (7,1) 1 (8,1) 1 (15,1) 1 (2,3) 1 (4,4) 1 (13,4) 1 (1,8) 1 (5,8) 1 Name Size Bytes Class Attributes A 16x9 144 logical S 16x9 170 logical sparse
例3-54：查看稀疏矩阵中非零元素的信息示例。
在命令行窗口中输入：
clear all A = [0 0 0 1;0 0 8 0;4 0 0 0;0 0 0 0] S = sparse(A) % 创建稀疏矩阵 whos n1 = nnz(S) % 查看非零元素的个数 n2 = nonzeros(S) % 查看非零元素的值 n3 = nzmax(S) % 查看稀疏矩阵的存储空间 spy(S) n4 = nnz(S) / prod(size(S))
输出结果：
A = 0 0 0 1 0 0 8 0 4 0 0 0 0 0 0 0 S = (3,1) 4 (2,3) 8 (1,4) 1 Name Size Bytes Class Attributes A 4x4 128 double S 4x4 88 double sparse n1 = 3 n2 = 4 8 1 n3 = 3 n4 = 0.1875
利用spy()函数可以对稀疏矩阵中非零元素的分布进行图形化显示，如图3-4所示。采用nnz(S)/prod(size(S))计算稀疏矩阵的非零元素密度。
图3-4 稀疏矩阵中非零元素的分布的图形化显示
2．利用特定函数创建特殊稀疏矩阵
MATLAB中提供了一些函数来创建特殊的稀疏矩阵，这些函数如表3-5所示。
表3-5 特殊稀疏矩阵的创建函数
例3-55：利用speye函数创建单位稀疏矩阵示例。
在命令行窗口中输入：
clear all A = speye(5) % 创建5阶单位稀疏矩阵 B = speye(5,6) % 创建5×6的稀疏矩阵 C = full(A) D = full(B)
输出结果：
A = (1,1) 1 (2,2) 1 (3,3) 1 (4,4) 1 (5,5) 1 B = (1,1) 1 (2,2) 1 (3,3) 1 (4,4) 1 (5,5) 1 C = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 D = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
例3-56：创建非零元素为随机数的对称稀疏矩阵示例。
在命令行窗口中输入：
clear all A = sprandsym(5,0.1) % 创建非零元素为随机数的对称稀疏矩阵 B = spones(A) % 创建非零元素为1的与矩阵A维数相同的对称稀疏矩阵 C = full(A) D = full(B)
输出结果：
A = (5,1) -1.1564 (5,3) -0.5336 (1,5) -1.1564 (3,5) -0.5336 B = (5,1) 1 (5,3) 1 (1,5) 1 (3,5) 1 C = 0 0 0 0 -1.1564 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.5336 0 0 0 0 0 -1.1564 0 -0.5336 0 0 D = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
3.5.3 稀疏矩阵的运算
满矩阵的四则运算对稀疏矩阵同样有效，但是返回结果有可能是稀疏矩阵或满矩阵。
对于单个稀疏矩阵的输入，大部分函数输出的结果都是稀疏矩阵，有部分函数输出的结果是满矩阵。对于多个矩阵的输入，如果其中至少有一个矩阵是满矩阵，那么大部分函数的输出结果是满矩阵。
对于矩阵的加、减、乘、除运算，只要其中有一个矩阵是满矩阵，则输出的结果都是满矩阵。
稀疏矩阵的数乘为稀疏矩阵；稀疏矩阵的幂为稀疏矩阵。
本章小结
本章介绍了MATLAB数组与矩阵的相关知识，主要内容包括数组运算、矩阵操作、矩阵元素的运算、矩阵运算和稀疏矩阵等。本章是理解MATLAB运算方式的重点，因为在MATLAB中所有的数据都是通过数组或矩阵的方式组织并进行计算的。要掌握好本章的内容，还需要了解更多的知识，读者可查阅相关的书籍和MATLAB帮助文件等。
