第3章 数组与矩阵——3.4 矩阵运算(1)

3.4  矩阵运算（1）

矩阵运算是线性代数中极其重要的部分。本节将介绍MATLAB中与矩阵运算相关的内容，包括矩阵分析、矩阵分解、特征值和特征向量等。

3.4.1  矩阵分析

MATLAB提供的矩阵分析函数如表3-2所示。

表3-2  矩阵分析函数

1．向量和矩阵的范数运算

对于线性空间中的一个向量x={x₁ ,x₂ ,…,x_n}，如果存在一个函数r(x)满足以下3个条件：

（1）r(x)>0，且r(x)=0的充要条件为x=0。

（2）r(ax)=|a|r(x)，其中a为任意标量。

（3）对向量x和y，有r(x+y)≤r(x)+r(y)。

则称r(x)为向量x的范数，一般记为||x||。范数的形式多种多样，下面式子中定义的范数操作就满足以上3个条件：

式中定义的 ||x||_p称为p阶范数，其中最有用的是1、2和∞阶范数。

矩阵的范数是基于向量的范数定义的，其定义式如下：

与向量的范数一样，矩阵的范数最常用的也是1、2、∞阶范数和F范数，它们的定义式如下：

在上式中， S_max{A^TA}则为A^TA的最大特征值。

矩阵的1范数：将矩阵沿列方向取绝对值求和，取最大值作为1范数。

对于实矩阵，矩阵A的2范数定义为：A的转置与A乘积的最大特征值开平方根。

矩阵A的∞范数定义为：沿着行方向取绝对值求和，取最大值。

在MATLAB中，求向量范数的函数的具体用法如下。

● N=norm(x,p)：对任意大于1的p值，返回向量x的p阶范数。

● N=norm(x)：返回向量的2阶范数，相当于N=norm(x,2)。

● N=norm(x,inf)：返回向量的∞阶范数，相当于N=max(abs(x))。

● N=norm(x,-inf)：返回向量的-∞阶范数，相当于N=min(abs(x))。

在MATLAB中，求矩阵范数的函数的具体用法如下。

● N=norm(A)：计算矩阵的2阶范数，也就是最大奇异值。

● N=norm(A,p)：根据参数p的值不同，求不同阶的范数值。当p=1时，计算矩阵A的1阶范数，相当于max(sum(abs(A)))。当p=2时，计算矩阵A的2阶范数，相当于norm(A)。当p=inf时，计算矩阵A的∞阶范数，相当于max(sum(abs(A')))。当p=fro时，计算矩阵A的F范数（Frobenius范数），相当于sqrt(sum(diag(A'*A)))。

例3-36：求向量x的2阶范数示例。

在命令行窗口中输入：

x = 1:6
N1 = norm(x)
N2 = norm(x,1)
N3 = norm(x,2)
N4 = norm(x,inf)
N5 = norm(x,-inf)

输出结果：

x =
     1     2     3     4     5     6
N1 =
    9.5394
N2 =
    21
N3 =
    9.5394
N4 =
     6
N5 =
     1

注意：当矩阵维数比较大时，会导致计算矩阵范数的时间比较长，并且当一个近似的范数值满足要求时，可以考虑使用函数normest()来估计2阶范数值。函数normest()最初开发时是为了提供给稀疏矩阵使用的，同时它也能接收满矩阵的输入，一般在满矩阵维数比较大时使用。

函数normest()的用法如下。

● normest(S)：估计矩阵S的2阶范数值。

● normest(S,tol)：使用tol作为允许的相对误差。

例3-37：求矩阵的范数示例。

在命令行窗口中依次输入：

clear all
A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9];
b = norm(A,1);           % 矩阵A的1阶范数
c = norm(A);                 % 矩阵A的2阶范数
d = norm(A,inf);             % 矩阵A的∞阶范数
e = norm(A, 'fro');             % 矩阵A的Frobenius范数
f = normest(A);              % 矩阵A的2阶范数的估计值
bcdef = [b c d e f]

输出结果：

bcdef =
   18.0000   16.8481   24.0000   16.8819   16.8481

2．矩阵的秩

矩阵A中线性无关的列向量个数称为列秩，线性无关的行向量个数称为行秩。在MATLAB中用函数rank()来计算矩阵的秩。函数rank()的用法如下。

● rank(A)：用默认允许误差计算矩阵的秩。

● rank(A,tol)：给定允许误差计算矩阵的秩，tol=max(size(A))·eps(norm(A))。

例3-38：求矩阵的秩示例。

在命令行窗口中依次输入：

clear all
A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9];
B = magic(3);
r1 = rank(A)
r2 = rank(B)

输出结果：

r1 =
     2
r2 =
     3

3．矩阵的行列式

矩阵A={a_ij}_n×n的行列式定义如下：

其中，k₁ ,k₂ ,…,k_n是将序列1,2,…,n交换k次所得的序列。在MATLAB中用函数det()来计算矩阵的行列式。

例3-39：计算矩阵的行列式示例。

在命令行窗口中依次输入：

clear all
A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9];
B = magic(5);
r1 = det(A)
r2 = det(B)
disp(['A的行列式值 = ',num2str(r1)])
disp(['B的行列式值 = ',num2str(r2)])

输出结果：

r1 =
  -9.5162e-16
r2 =
   5.0700e+06
A的行列式值 = -9.5162e-16
B的行列式值 = 5070000

注意：在 MATLAB 中，当计算一个矩阵的行列式值时，如果得到的结果非常接近零，例如 -9.5162e-16，通常表示该矩阵的行列式值非常接近于零，但由于计算精度限制，结果被舍入为科学计数法表示。因此，在比较行列式值与零或进行其他精确计算时，应当谨慎处理，避免舍入误差对计算结果产生影响。如果需要更高的数值精度，可以考虑使用 MATLAB 提供的 Symbolic Math Toolbox 进行精确计算。

4．矩阵的迹

矩阵的迹定义为矩阵对角元素之和。在MATLAB中用函数trace()来计算矩阵的迹。

例3-40：计算矩阵的迹示例。

在命令行窗口中依次输入：

clear all
A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9];
B = magic(5);
r1 = trace(A)
r2 = trace(B)
disp(['A的迹 = ',num2str(r1)])
disp(['B的迹 = ',num2str(r2)])

输出结果：

r1 =
    15
r2 =
    65
A的迹 = 15
B的迹 = 65

5．矩阵的化零矩阵

MATLAB中提供了求化零矩阵的函数null()，其用法如下。

● Z=null(A)：返回矩阵A的一个化零矩阵，如果化零矩阵不存在，则返回空矩阵。

● Z=null(A,'r')：返回有理数形式的化零矩阵。

例3-41：求矩阵的化零矩阵示例。

在命令行窗口中依次输入：

clear all
A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9];
Z = null(A)
AZ = A * Z
ZR = null(A, 'r ')
AZR = A * ZR

输出结果：

Z =
   -0.4082
    0.8165
   -0.4082
AZ =
   1.0e-15 *
   -0.4441
         0
    0.4441
ZR =
   -0.4082
    0.8165
   -0.4082
AZR =
   1.0e-15 *
   -0.4441
         0
    0.4441

6．矩阵的正交空间

矩阵A的正交空间Q具有Q'·Q=I的性质，并且Q的列矢量构成的线性空间与矩阵A的列矢量构成的线性空间相同，且正交空间Q与矩阵A具有相同的秩。MATLAB中提供了函数orth()来求正交空间Q。

例3-42：矩阵的正交空间求解示例。

在命令行窗口中依次输入：

clear all
A = magic(3)
Q = orth(A)

输出结果：

A =
     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2
Q =
   -0.5774    0.7071    0.4082
   -0.5774    0.0000   -0.8165
   -0.5774   -0.7071    0.4082

7．矩阵的约化行阶梯形式

矩阵的约化行阶梯形式是高斯-约旦消去法解线性方程组的结果，其形式为：

MATLAB中提供了函数rref()来求矩阵的约化行阶梯形式，其用法如下。

● R=rref(A)：返回矩阵A的约化行阶梯形式R。

● [R,jb]=rref(A)：返回矩阵A的约化行阶梯形式R，并返回1×r的向量jb，r为矩阵A的秩；A(:,jb)是矩阵A的列矢量构成的线性空间；R(1:r,jb)是r×r的单位矩阵。

● [R,jb]=rref(A,tol)：以tol作为允许的相对误差计算矩阵A的秩。

例3-43：求矩阵A的约化行阶梯形式示例。

在命令行窗口中依次输入：

A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12];       % 矩阵A
R = rref(A)                     % 正交矩阵A的约化行阶梯形式

输出结果：

R =
     1     0    -1
     0     1     2
     0     0     0
     0     0     0

8．矩阵空间之间的夹角

矩阵空间之间的夹角代表两个矩阵线性相关的程度。如果夹角很小，它们之间的线性相关度就很高；反之，它们之间的线性相关度就很低。在MATLAB中用函数subspace()来实现求矩阵空间之间的夹角，其调用格式如下。

● theta=subspace(A,B)：返回矩阵A和矩阵B之间的夹角。

例3-44：求矩阵A和矩阵B之间的夹角示例。

在命令行窗口中依次输入：

clear all
A = [1 2 3;3 4 5;7 8 9;8 7 9;0 2 8];
B = magic(5);
subspace(A,B)

输出结果：

ans =
   9.6980e-16