英文原文(Reductions, visitors and broadcasting)
本文介绍了Eigen的归约、访问者和广播，以及它们如何与矩阵和数组一起使用。
归约
在Eigen，归约是把一个矩阵和数组变成一个标量的方法。一个经常用到的归约方法是sum()，它返回给定矩阵或数组内所有系数的总和。
// 代码索引 3-7-1-1
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
int main()
{
Eigen::Matrix2d mat;
mat << 1, 2,
3, 4;
cout << "Here is mat.sum(): " << mat.sum() << endl;
cout << "Here is mat.prod(): " << mat.prod() << endl;
cout << "Here is mat.mean(): " << mat.mean() << endl;
cout << "Here is mat.minCoeff(): " << mat.minCoeff() << endl;
cout << "Here is mat.maxCoeff(): " << mat.maxCoeff() << endl;
cout << "Here is mat.trace(): " << mat.trace() << endl;
}
输出：
Here is mat.sum(): 10
Here is mat.prod(): 24
Here is mat.mean(): 2.5
Here is mat.minCoeff(): 1
Here is mat.maxCoeff(): 4
Here is mat.trace(): 5
矩阵的迹可以通过trace()来得到，也可以通过a.diagonal().sum()得到。
范数计算
向量的平方范数可以通过 squaredNorm() 来计算。它等于向量本身的点积，等于其系数的绝对值平方和。
Eigen还提供了 norm() 方法，该方法返回squaredNorm()的平方根。
这些方法也可以对矩阵进行操作，在这种情况下，n×p 矩阵被视为大小为(n*p)的向量，因此例如 norm() 方法返回 Frobenius 或 Hilbert-Schmidt 范数，即 $L_2$ 范数。我们避免谈论 Euclidean 范数，因为这可能意味着不同的事情。
如果想要其他系数的范数，可以使用lpNorm\()方法。如果你想要 $\infty$ 范数，模板参数 p 可以取特殊值 Infinity，这将返回系数绝对值的最大值。如下：
// 代码索引 3-7-2-1
#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
int main()
{
Eigen::VectorXf v(2);
Eigen::MatrixXf m(2,2), n(2,2);
v << -1,
2;
m << 1,-2,
-3,4;
std::cout << "v.squaredNorm() = " << v.squaredNorm() << std::endl;
std::cout << "v.norm() = " << v.norm() << std::endl;
std::cout << "v.lpNorm<1>() = " << v.lpNorm<1>() << std::endl;
std::cout << "v.lpNorm<Infinity>() = " << v.lpNorm<Eigen::Infinity>() << std::endl;
std::cout << std::endl;
std::cout << "m.squaredNorm() = " << m.squaredNorm() << std::endl;
std::cout << "m.norm() = " << m.norm() << std::endl;
std::cout << "m.lpNorm<1>() = " << m.lpNorm<1>() << std::endl;
std::cout << "m.lpNorm<Infinity>() = " << m.lpNorm<Eigen::Infinity>() << std::endl;
}
输出：
v.squaredNorm() = 5
v.norm() = 2.23607
v.lpNorm<1>() = 3
v.lpNorm<Infinity>() = 2
m.squaredNorm() = 30
m.norm() = 5.47723
m.lpNorm<1>() = 10
m.lpNorm<Infinity>() = 4
1-范数和 $\infty$-范数矩阵运算符范数可以很容易地计算如下：
// 代码索引 3-7-2-2
#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
int main()
{
Eigen::MatrixXf m(2,2);
m << 1,-2,
-3,4;
std::cout << "1-norm(m) = " <是他的：：< m.cwiseAbs().colwise().sum().maxCoeff()
<< " == " << m.colwise().lpNorm<1>().maxCoeff() << std::endl;
std::cout << "infty-norm(m) = " << m.cwiseAbs().rowwise().sum().maxCoeff()
<< " == " << m.rowwise().lpNorm<1>().maxCoeff() << std::endl;
}
输出：
1-norm(m) = 6 == 6
infty-norm(m) = 7 == 7
有关这些表达式的语法的更多解释，请参见下文。
布尔归约
下列是关于布尔值的归约操作：
all()：给定Matrix或Array所有的系数都为true时，该函数返回trueany()：给定Matrix或Array至少有一个是true，函数返回truecount()：返回给定Matrix或Array中true的个数
这些操作通常与相等操作符、Array提供的按系数比较操作等一起使用。例如，array>0 是一个数组，它与array大小相同且每一个元素都是布尔值，如果array的某个元素满足大于零，则数组array>0对应位置为true，否则为false。因此，(array>0).all() 检验是否array的所有的系数都是大于0的。
示例如下：
// 代码索引 3-7-3-1
#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
int main()
{
Eigen::ArrayXXf a(2,2);
a << 1,2,
3,4;
std::cout << "(a > 0).all() = " << (a > 0).all() << std::endl;
std::cout << "(a > 0).any() = " << (a > 0).any() << std::endl;
std::cout << "(a > 0).count() = " << (a > 0).count() << std::endl;
std::cout << std::endl;
std::cout << "(a > 2).all() = " << (a > 2).all() << std::endl;
std::cout << "(a > 2).any() = " << (a > 2).any() << std::endl;
std::cout << "(a > 2).count() = " << (a > 2).count() << std::endl;
}
输出如下：
(a > 0).all() = 1
(a > 0).any() = 1
(a > 0).count() = 4
(a > 2).all() = 0
(a > 2).any() = 1
(a > 2).count() = 2
用户自定义的归约
这里官方没有给出解释，建议参考函数 DenseBase::redux()
访问者函数
当想要获取元素在 Matrix 或 Array 中的位置时，访问者函数很有用。例如 maxCoeff(&x,&y) 和 minCoeff(&x,&y)，它们可用于查找 Matrix 或 Array 中最大或最小元素的位置，位置通过传入要存储行和列位置变量的指针返回。这些变量应该是 Index 类型，如下所示：
// 代码索引 3-7-4-1
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
int main()
{
Eigen::MatrixXf m(2,2);
m << 1, 2,
3, 4;
//get location of maximum
Eigen::Index maxRow, maxCol;
float max = m.maxCoeff(&maxRow, &maxCol);
//get location of minimum
Eigen::Index minRow, minCol;
float min = m.minCoeff(&minRow, &minCol);
std::cout << "Max: " << max << ", at: " <<
maxRow << "," << maxCol << std::endl;
std:: cout << "Min: " << min << ", at: " <<
minRow << "," << minCol << std::endl;
}
输出为：
Max: 4, at: 1,1
Min: 1, at: 0,0
这两个函数还会通过函数返回值返回最小或最大元素的值。
局部归约
局部归约是可以对 Matrix 或 Array 按列或行进行操作的归约，对每一列或行应用归约操作并返回具有相应值的列或行向量。使用colwise()或rowwise()方法进行部分归约。
如下示例，获取给定矩阵中每一列中元素的最大值，并将结果存储在行向量中：
// 代码索引 3-7-5-1
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
int main()
{
Eigen::MatrixXf mat(2,4);
mat << 1, 2, 6, 9,
3, 1, 7, 2;
std::cout << "Column's maximum: " << std::endl
<< mat.colwise().maxCoeff() << std::endl;
}
输出：
Column's maximum:
3 2 7 9
类似的，可得到每一行中元素的最大值，如下：
// 代码索引 3-7-5-2
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
int main()
{
Eigen::MatrixXf mat(2,4);
mat << 1, 2, 6, 9,
3, 1, 7, 2;
std::cout << "Row's maximum: " << std::endl
<< mat.rowwise().maxCoeff() << std::endl;
}
请注意，按列操作返回行向量，而按行操作返回列向量。
将局部归约与其他操作结合
也可以将局部归约的结果做进一步处理。
如下示例，查找矩阵中元素总和最大的列：
// 代码索引 3-7-5-3
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
int main()
{
Eigen::MatrixXf mat(2,4);
mat << 1, 2, 6, 9,
3, 1, 7, 2;
Eigen::Index maxIndex;
float maxNorm = mat.colwise().sum().maxCoeff(&maxIndex);
std::cout << "Maximum sum at position " << maxIndex << std::endl;
std::cout << "The corresponding vector is: " << std::endl;
std::cout << mat.col( maxIndex ) << std::endl;
std::cout << "And its sum is is: " << maxNorm << std::endl;
}
输出如下：
Maximum sum at position 2
The corresponding vector is:
6
7
And its sum is is: 13
上面示例通过 colwise() 对每一列进行 sum() 归约，得到大小为 1x4 的新矩阵，如：
$$ m = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 9 \\ 3 & 1 & 7 & 2 \\ \end{bmatrix} $$
则有，
$$ m.colwise().sum() = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 13 & 11 \end{bmatrix} $$
最后，使用 maxCoeff() 方法得到最大总和的列索引。
广播
广播的概念类似于局部归约，不同之处在于广播构造了一个表达式，通过在一个方向上复制向量（列或行）将其解释为矩阵。
如下示例，将某个列向量添加到矩阵中的每一列：
// 代码索引 3-7-6-1
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
int main()
{
Eigen::MatrixXf mat(2,4);
Eigen::VectorXf v(2);
mat << 1, 2, 6, 9,
3, 1, 7, 2;
v << 0,
1;
//add v to each column of m
mat.colwise() += v;
std::cout << "Broadcasting result: " << std::endl;
std::cout << mat << std::endl;
}
输出：
Broadcasting result:
1 2 6 9
4 2 8 3
用两种等价的方式解释语句 mat.colwise() += v。可以解释为它将向量 v 添加到矩阵的每一列，或者，也可以解释为将向量 v 重复四次形成一个 4*2 的矩阵，然后将其加到 mat，如下：
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 9 \\ 3 & 1 & 7 & 2 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 9 \\ 4 & 2 & 8 & 3 \\ \end{bmatrix} $$
运算符 -=、+ 和 - 也可以按列和行使用。在数组中，还可以使用运算符 *=、/=、* 和 / 来执行按元素乘法和按列或行进行除法，但这些运算符在矩阵上不能使用。如果要将矩阵 mat 的第 0 列与v(0) 相乘，第 1 列与 v(1) 相乘，依此类推，可以使用 mat = mat * v.asDiagonal()。
需要指出的是，要按列或行相加的向量必须是 Vector 类型，不能是 Matrix，否则编译时会报错。这也意味着在使用 Matrix 操作时，广播操作只能应用于 Vector 类型的对象。这同样适用于 Array 类，其中 VectorXf 的等效项是 ArrayXf。同样不应该在同一个表达式中混合使用数组和矩阵。
如下示例，按行执行相同的操作：
// 代码索引 3-7-6-2
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
int main()
{
Eigen::MatrixXf mat(2,4);
Eigen::VectorXf v(4);
mat << 1, 2, 6, 9,
3, 1, 7, 2;
v << 0,1,2,3;
//add v to each row of m
mat.rowwise() += v.transpose();
std::cout << "Broadcasting result: " << std::endl;
std::cout << mat << std::endl;
}
输出：
Broadcasting result:
1 3 8 12
3 2 9 5
将广播与其他操作结合
广播还可以与其他操作相结合，例如矩阵或数组操作、归约和局部归约。
前面已经介绍了广播、归约和局部归约，现在可以深入研究一个更高级的示例，即在矩阵 m 的列中找到向量 v 的最近邻向量。本例将使用欧几里得距离，使用名为 squaredNorm() 的局部归约计算二次欧几里得距离：
// 代码索引 3-7-7-1
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
int main()
{
Eigen::MatrixXf m(2,4);
Eigen::VectorXf v(2);
m << 1, 23, 6, 9,
3, 11, 7, 2;
v << 2,
3;
Eigen::Index index;
// find nearest neighbour
(m.colwise() - v).colwise().squaredNorm().minCoeff(&index);
std::cout << "Nearest neighbour is column " << index << ":" << std::endl;
std::cout << m.col(index) << std::endl;
}
输出：
Nearest neighbour is column 0:
1
3
其中，语句 (m.colwise() - v).colwise().squaredNorm().minCoeff(&index); 解释如下：
m.colwise() - v： 是一个广播操作，从 m 中的每一列中减去 v。此操作的结果是一个新矩阵，其大小与矩阵 m 相同，如下：
$$ m.colwise - v = \begin{bmatrix} -1 & 21 & 4 & 7 \\ 0 & 8 & 4 & -1 \\ \end{bmatrix} $$
(m.colwise() - v).colwise().squaredNorm()：是一个局部归约操作，按列计算平方范数。此操作的结果是一个行向量，其中每个元素是 m 和 v 中每列之间的二次欧几里得距离，如下：
$$ (m.colwise() - v).colwise().squaredNorm() = \begin{bmatrix} 1 & 505 & 32 & 50 \end{bmatrix} $$
minCoeff(&index)：用于获取 m 中最接近 v 的列索引。
