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💬<4>前言：在之前的我们已经学过了普通二叉树，了解了基本的二叉树的结构和基本操作了，不过我们之前的二叉树结构都是使用C语言实现的，我们这次来介绍二叉树中更加复杂的树结构，C语言在实现这些结构已经有些吃力了，更适合我们使用C++来实现。
目录
一.前言
map和set特性需要先铺垫二叉搜索树，而二叉搜索树也是一种树形结构，二叉搜索树的特性了解，有助于更好的理解map和set的特性，二叉树中部分面试题稍微有点难度，在前面讲解大家不容易接受，且时间长容易忘。本节借二叉树搜索树，对二叉树部分进行收尾总结。
二.二叉搜索树
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
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三. 二叉搜索树操作
1.结点与整体结构
template<class K> struct BSTreeNode { BSTreeNode(K key) :_key(key), _right(nullptr), _left(nullptr) { } K _key; //数值 BSTreeNode<K>* _right; //右孩子 BSTreeNode<K>* _left; //左孩子 }; template<class K> class BSTree { typedef BSTreeNode<K> Node; public: //... private: Node* _root = nullptr; };
2.insert（）
我们主要针对两种情况：
- 二叉树中一个数据都没有
- 二叉树已经有数据了
如果二叉树中还没有数据，我们需要将插入的第一个数据作为二叉搜索树的根节点。
如果二叉搜索树中，已经有了数据，我们根据搜索二叉树的特性，如果插入的值比根小，我们就往根的左子树去插入，如果插入的值比根大，我们就往根的右子树去插入，如果遇到相同的值就算是插入失败了，循环上面得动作，直到找到一个空位置。
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循环版本：
bool insert(const K& key) { //如果BSTree还没有结点 if (_root == nullptr) { _root = new Node(key); return true; } //找到插入的合适位置，和其父亲结点 //父亲结点得作用是，我们新插入得结点要和父亲结点连接， //简单来说就是，父亲结点要孩子指针，要指向我们新的结点。 Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (key < cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if (key > cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else { return false; } } //创建新节点 cur = new Node(key); //判断新插入得结点是父亲得左孩子还是右孩子 if (key > parent->_key) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } return true; }
递归版本：
bool Rinsert(const K& key) { return _Rinsert(_root, key); } bool _Rinsert(Node*& root, const K& key) { //如果BSTree还没有结点、或者已经找到得合适的空位置 if (root == nullptr) { root = new Node(key); return true; } //BSTree已经有结点 if (key < root->_key) { //key比当前结点小，往左树插入 return _Rinsert(root->_left, key); } else if (key > root->_key) { //key比当前结点大，往右树插入 return _Rinsert(root->_right, key); } else { return false; } } //中序遍历 void InOrder() { _InOrder(_root); } void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) { return; } _InOrder(root->_left); cout << root->_key << " " ; _InOrder(root->_right); }
测试：
二叉搜索树，中序遍历得结果就是排序结果，我们可以通过这个特性判断我们插入得是否正确。
int main() { int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 }; BSTree<int> b; BSTree<int> Rb; for (auto e : a) { b.insert(e); Rb.Rinsert(e); } b.InOrder(); cout << endl; Rb.InOrder(); return 0; }
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3.find（）
二叉搜索树的查找
- 从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
- 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
找到以后返回目标结点得指针。
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循环版本：
Node* find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (key < cur->_key) { cur = cur->_left; } else if (key > cur->_key) { cur = cur->_right; } else { return cur; } } return nullptr; }
递归版本：
Node* Rfind(const K& key) { return _Rfind(_root, key); } Node* _Rfind(Node*& root, const K& key) { if (root == nullptr) { return nullptr; } if (key < root->_key) { return _Rfind(root->_left, key); } else if (key > root->_key) { return _Rfind(root->_right, key); } else { return root; } }
4.erase（）
二叉搜索树的删除
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回, 否要删除则的结点可能分下面四种情
况：
- a. 要删除的结点无孩子结点
- b. 要删除的结点只有左孩子结点
- c. 要删除的结点只有右孩子结点
- d. 要删除的结点有左、右孩子结点
看起来有待删除节点有4中情况，实际情况a可以与情况b或者c合并起来，因此真正的删除过程
如下：
- 情况1：要删除的结点只有左孩子结点，删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除节点的左孩子结点--直接删除
- 情况2：要删除的结点只有右孩子结点，删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的右孩子结点--直接删除
- 情况3：要删除的结点有左、右孩子结点，在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(数值最小)，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题--替换法删除
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情况二与情况一处理方法相同:
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循环版本：
bool erase(const K& key) { Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (key < cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if (key > cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else { //准备删除 //待删除结点，左节点为空，将其右边结点交给父亲 if (cur->_left == nullptr) { //此时如果删除的是根节点需要改变根节点指向 if (cur == _root) { _root = _root->_right; } else { //判断待删除结点是父亲的左孩子还是右孩子 if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_right; } else { parent->_right = cur->_right; } } delete cur; return true; }//待删除结点，左节点为空，将其左边结点交给父亲 else if (cur->_right == nullptr) { //此时如果删除的是根节点需要改变根节点指向 if (cur == _root) { _root = _root->_left; } else { //判断待删除结点是父亲的左孩子还是右孩子 if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_left; } else { parent->_right = cur->_left; } } delete cur; return true; } else { //由于删除的结点左右都有孩子 //需要找一个能代替删除结点的位置结点，即比左子树大比右子树小 //最适合的结点就是，左子树的最右结点(最大节点)，右子树的最左节点(最小结点) Node* MinNode = cur->_right; Node* MinParent = cur; while (MinNode->_left) { MinParent = MinNode; MinNode = MinNode->_left; } //先将MinNode结点的孩子交给他的父亲 //注意:不能因为是找的最左边结点就因为MinNode结点一定是MinParent的左孩子 if (MinParent->_left == MinNode) { MinParent->_left = MinNode->_right; } else { MinParent->_right = MinNode->_right; } //将MinNode结点的值赋值给cur cur->_key = MinNode->_key; delete MinNode; return true; } } } return false; }
递归版本：
bool _Rerase(Node*& root, const K& key) { //空树、没有找到删除的结点 if (root == nullptr) { return false; } if (key < root->_key) { //key比当前结点小，往左树删除 return _Rerase(root->_left, key); } else if(key > root->_key) { //key比当前结点小，往左树删除 return _Rerase(root->_right, key); } else { //找到，开始删除 Node* cur = root; if (root->_left == nullptr) { //1.待删除结点，左孩子为空 root = root->_right; } else if (root->_right == nullptr) { //2.待删除结点，右孩子为空 root = root->_left; } else//待删除结点，左右孩子都不为空 { //找到左树的最大结点 Node* maxleft = root->_left; while (maxleft->_right) { maxleft = maxleft->_right; } //交换maxleft和待删除结点的Key值， //并再次转换成左树删除一个单孩子结点，复用上述情况一二的代码 swap(maxleft->_key, root->_key); return _Rerase(root->_left, key); } delete cur; } }
测试：
int main() { int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 }; BSTree<int> b; BSTree<int> Rb; for (auto e : a) { b.insert(e); Rb.Rinsert(e); } for (auto e : a) { b.erase(e); b.InOrder(); cout << endl; Rb.Rerase(e); Rb.InOrder(); cout << endl; } return 0; }
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5.构造与析构
拷贝构造：
前序创建结点，后续连接指向。
BSTree(const BSTree<K>& root) { _root = _copy(root._root); } Node* _copy(const Node* root) { if (root == nullptr) return nullptr; Node* newnode = new Node(root->_key); newnode->_left = _copy(root->_left); newnode->_right = _copy(root->_right); return newnode; }
析构函数：
后续销毁结点
~BSTree() { Destroy(_root); } void Destroy(Node* root) { if (root == nullptr) return; Destroy(root->_left); Destroy(root->_right); delete root; }
默认构造：
如果我们写了拷贝构造，编译器就不会自己生成默认构造函数了，我们可以自己写一个默认构造函数，也可以强制编译器生成一个，但是默认构造只能有一个。
//告诉编译器强制生成 BSTree() = default; //自己写 BSTree() { }
四.二叉搜索树的应用
1. K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到
的值。比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
2. KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方
式在现实生活中非常常见：
比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英
文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出
现次数就是<word, count>就构成一种键值对。
例如：我们将上述的代码改造成K/V结构：
template<class K,class V> struct BSTreeNode { BSTreeNode(const K& key, const V& val) :_key(key), _val(val), _right(nullptr), _left(nullptr) { } K _key; V _val; BSTreeNode<K,V>* _right; BSTreeNode<K,V>* _left; }; template<class K, class V > class KV_BSTree { typedef BSTreeNode<K,V> Node; public: KV_BSTree() = default; KV_BSTree(const KV_BSTree<K,V>& root) { _root = _copy(root._root); } ~KV_BSTree() { //... } bool insert(const K& key,const V& val) { //如果BSTree还没有结点 if (_root == nullptr) { _root = new Node(key,val); return true; } //找到插入的合适位置，和其父亲结点 Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (key < cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if (key > cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else { return false; } } //判断链接 cur = new Node(key,val); if (key > parent->_key) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } return true; } Node* find(const K& key) { //... } bool erase(const K& key) { //... } void InOrder() { _InOrder(_root); } private: void Destroy(Node* root) { //... } void _InOrder(Node* root) { //... } Node* _root = nullptr; }; int main() { string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" }; KV_BSTree<string,int> b; for (auto e : arr) { auto cur = b.find(e); if (cur == nullptr) { b.insert(e, 1); } else { cur->_val++; } } b.InOrder(); return 0; }
统计水果出现的次数：
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五. 二叉搜索树的性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二
叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
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最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为：$log_2 N$
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为：$\frac{N}{2}$
问题：如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进，不论按照什么次序插
入关键码，二叉搜索树的性能都能达到最优？那么我们后续章节学习的AVL树和红黑树就可以上
场了。
六.整体代码
BSTree.hpp
#pragma once #include<iostream> using namespace std; template<class K> struct BSTreeNode { BSTreeNode(const K& key) :_key(key), _right(nullptr), _left(nullptr) { } K _key; BSTreeNode<K>* _right; BSTreeNode<K>* _left; }; template<class K> class BSTree { typedef BSTreeNode<K> Node; public: //告诉编译器强制生成 BSTree() = default; //自己写 //BSTree() //{ //} BSTree(const BSTree<K>& root) { _root = _copy(root._root); } ~BSTree() { Destroy(_root); } bool insert(const K& key) { //如果BSTree还没有结点 if (_root == nullptr) { _root = new Node(key); return true; } //找到插入的合适位置，和其父亲结点 //父亲结点得作用是，我们新插入得结点要和父亲结点连接， //简单来说就是，父亲结点要孩子指针，要指向我们新的结点。 Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (key < cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if (key > cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else { return false; } } //创建新节点 cur = new Node(key); //判断新插入得结点是父亲得左孩子还是右孩子 if (key > parent->_key) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } return true; } Node* find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (key < cur->_key) { cur = cur->_left; } else if (key > cur->_key) { cur = cur->_right; } else { return cur; } } return nullptr; } bool erase(const K& key) { Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (key < cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if (key > cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else { //准备删除 //待删除结点，左节点为空，将其右边结点交给父亲 if (cur->_left == nullptr) { //此时如果删除的是根节点需要改变根节点指向 if (cur == _root) { _root = _root->_right; } else { //判断待删除结点是父亲的左孩子还是右孩子 if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_right; } else { parent->_right = cur->_right; } } delete cur; return true; }//待删除结点，左节点为空，将其左边结点交给父亲 else if (cur->_right == nullptr) { //此时如果删除的是根节点需要改变根节点指向 if (cur == _root) { _root = _root->_left; } else { //判断待删除结点是父亲的左孩子还是右孩子 if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_left; } else { parent->_right = cur->_left; } } delete cur; return true; } else { //由于删除的结点左右都有孩子 //需要找一个能代替删除结点的位置结点，即比左子树大比右子树小 //最适合的结点就是，左子树的最右结点(最大节点)，右子树的最左节点(最小结点) Node* MinNode = cur->_right; Node* MinParent = cur; while (MinNode->_left) { MinParent = MinNode; MinNode = MinNode->_left; } //先将MinNode结点的孩子交给他的父亲 //注意:不能因为是找的最左边结点就因为MinNode结点一定是MinParent的左孩子 if (MinParent->_left == MinNode) { MinParent->_left = MinNode->_right; } else { MinParent->_right = MinNode->_right; } //将MinNode结点的值赋值给cur cur->_key = MinNode->_key; delete MinNode; return true; } } } return false; } bool Rerase(const K& key) { return _Rerase(_root,key); } Node* Rfind(const K& key) { return _Rfind(_root, key); } bool Rinsert(const K& key) { return _Rinsert(_root, key); } void InOrder() { _InOrder(_root); } private: Node* _copy(const Node* root) { if (root == nullptr) return nullptr; Node* newnode = new Node(root->_key); newnode->_left = _copy(root->_left); newnode->_right = _copy(root->_right); return newnode; } void Destroy(Node* root) { if (root == nullptr) return; Destroy(root->_left); Destroy(root->_right); delete root; } bool _Rerase(Node*& root, const K& key) { //空树、没有找到删除的结点 if (root == nullptr) { return false; } if (key < root->_key) { //key比当前结点小，往左树删除 return _Rerase(root->_left, key); } else if(key > root->_key) { //key比当前结点小，往左树删除 return _Rerase(root->_right, key); } else { //找到，开始删除 Node* cur = root; if (root->_left == nullptr) { //1.待删除结点，左孩子为空 root = root->_right; } else if (root->_right == nullptr) { //2.待删除结点，右孩子为空 root = root->_left; } else//待删除结点，左右孩子都不为空 { //找到左树的最大结点 Node* maxleft = root->_left; while (maxleft->_right) { maxleft = maxleft->_right; } //交换maxleft和待删除结点的Key值， //并再次转换成左树删除一个单孩子结点，复用上述情况一二的代码 swap(maxleft->_key, root->_key); return _Rerase(root->_left, key); } delete cur; } } Node* _Rfind(Node*& root, const K& key) { if (root == nullptr) { return nullptr; } if (key < root->_key) { return _Rfind(root->_left, key); } else if (key > root->_key) { return _Rfind(root->_right, key); } else { return root; } } bool _Rinsert(Node*& root, const K& key) { //如果BSTree还没有结点 if (root == nullptr) { root = new Node(key); return true; } //BSTree已经有结点 if (key < root->_key) { //key比当前结点小，往左树插入 return _Rinsert(root->_left, key); } else if (key > root->_key) { //key比当前结点大，往右树插入 return _Rinsert(root->_right, key); } else { return false; } } void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) { return; } _InOrder(root->_left); cout << root->_key << " " ; _InOrder(root->_right); } Node* _root = nullptr; };
