树的相关概念和结构

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

1.有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点

2.除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i

3.<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

因此，树是递归定义的。

现实中的树：

我们这里的结构：

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6。

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点。

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点。

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点。

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点。

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点。

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6。

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；。

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4。

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点。

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先。

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙。

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林。

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间

的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法

等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

什么是孩子兄弟表示法呢？它的结构大概是这样子的

typedef int DataType;
struct Node
{
  struct Node* Child; // 第一个孩子结点
  struct Node* Brother; // 指向其下一个兄弟结点
  DataType data; // 结点中的数据域
};

它只存储第一个孩子的节点，然后在存储一个兄弟的节点，然后就通过第一个孩子，找它的兄弟，就可以找到所以孩子。

二叉树的概念和结构

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空
由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

1.二叉树不存在度大于2的结点

2.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

特殊的二叉树

1.满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。

2.完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链。

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

顺序存储孩子和父母的下标关系

我们通过观察会发现：

左孩子=父亲×2+1；

右孩子=父亲×2+2；

父亲=(孩子-1)/2;

堆的概念和结构

如果有一个关键码的集合K = { ，，，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足： <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的向上调整算法

我们在插入数据时，可以是用向上调整算法，来使插入的数据保持一个堆的关系。

例如我们现在给定：

int array[] = {27,15,19,18,28};

我们应该将他看成这样:

但是它现在不是堆，那怎么把他变成一个堆呢？（我们假设建小堆）

我们一个一个来，假设刚开始只有27，那它就是小堆，如果加个15，那它就不满足小堆的性质，我们就需要调整。

我们会发现向上调整算法只会影响父子之间的关系，如果父子之间不满足条件，我们就需要交换，最多需要交换到根节点就截止。

那什么是向上调整算法呢？

我们会发现我们每次向上调整时，前提它都是大堆或者小堆，也就是说，前面前面必须都是堆，插入数据时才能使用向上调整算法，并且每次都是父子之间进行的调换，当孩子是根时，就不用交换了，或者说当孩子插入后本来就满足大堆或小堆的性质，我们就不用调换，向上调整算法，就是将不满足大堆或者小堆的数据，往上面换，直到满足大堆或小堆的性质，但是前提是前面的数据已经是堆了才能够使用。

代码如下：

//向上调整算法
void AdjustUp(int* arr, int child)
{
  //计算父亲的下标
  int parent = (child - 1) / 2;
  while (child > 0)
  {
    //判断是否满足大堆或小堆的性质（这里写的是大堆）如果孩子比父亲大，就往上面去
    if (arr[child] > arr[parent])
    {
      //Swap是个交换函数
      Swap(arr + child, arr + parent);
      child = parent;
      parent = (child - 1) / 2;
    }
    else
    {
    //如果本来就满足，直接跳出循环
      break;
    }
  }
}

那如何用向上调整建堆呢？

我们第一个元素就可以看成一个堆，把剩下的元素依次插入就可以。

for(int i = (sz - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
//sz是数组的大小
  AdjustDown(arr, sz, i);
}

那么向上调整建堆的时间复杂度是多少呢？

因为时间复杂度算最坏的情况，我们这里以满二叉树为例。

所以向上调整算法的时间复杂度就是O(N*logN)；

堆的向下调整算法

向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

向下调整算法个向上调整很相似，但是条件不要一样，向下调整是堆顶的元素不满足堆的性质，需要向下调整，前提是左右子树都是堆，我们以大堆为例，我们就要选出左右子树大的那一个，和父亲比较，如果比父亲还大，就换位，如果不满足就一直换，直到换到叶子节点为止。满足就直接跳出即可。

void AdjustDown(int* arr, int sz, int parent)
{
  //假设是左孩子
  int child = 2 * parent + 1;
  while (child < sz)
  {
    //假设错误，修改
    if (child+1<sz && arr[child] < arr[child + 1])
    {
      child++;
    }
    //判断是否满足（这里写的是大堆）
    if (arr[child] > arr[parent])
    {
      Swap(arr + child, arr + parent);
      parent = child;
      child = 2 * parent + 1;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}

那如何用向下调整建堆呢？

我们可以倒着来，因为叶子节点可以看成一个堆，所以我们只需要从最后一个叶子的父亲开始，向下调整就可以了；

for(int i = (sz - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
//sz是数组的大小
  AdjustDown(arr, sz, i);
}

那么向下建堆的时间复杂度是多少呢？

我们还是以满二叉树为例。

所以这个的时间复杂度是O(N);

总结一下：经过我们的分析，我们可以知道向上调整建堆是不如向下调整建堆的。

今天的分享就到这里，感谢大家的支持和关注。

树和二叉树基础概念