不是看到了希望才去坚持，而是坚持了才看到了希望。

1.算法效率

1.1 如何衡量一个算法的好坏

给你一个代码，如何衡量其好坏呢？

long long Fib(int N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

只是单纯的看代码的简洁性吗？

显然不可能只是这样。代码的优化往往是先考虑时间空间复杂度，再去考虑代码的简洁性。

那什么是复杂度呢？

1.2 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间 ( 内存 ) 资源 。因此 衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的 ，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间 。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计 算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

我们无论在力扣还是在牛客上刷题，有时候题目会明确要求时间空间复杂度，所以我们必须要明白什么是时间复杂度，什么是空间复杂度。

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中， 算法的时间复杂度是一个函数 ，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知 道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个 分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例， 算法中的 基本操作的执行次数 ，为算法 的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模 N 之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

我们可以来做个题来练练手：

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 }
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
 ++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
 ++count;
}

这道题通过计算我们可以得出++count总共执行的次数为：N^2+2N+M

我们用一些具体的N来计算下执行次数：

N = 10         F(N) = 130           N^2=100

N = 100       F(N) = 10210       N^2=10000

N = 1000     F(N) = 1002010   N^2=1000000

我们发现随着N越来越大，第二项与第三项越来越接近，也就是除去最高阶项外的其余项对最终结果的影响越来越小了。实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.2 大O的渐进表示法

大 O 符号（ Big O notation ）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大 O 阶方法：

1 、用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。

2 、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3 、如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大 O 阶。

使用大 O 的渐进表示法以后， Func1 的时间复杂度为： O(N^2)

通过上面我们会发现大 O 的渐进表示法 去掉了那些对结果影响不大的项 ，简洁明了的表示出了执行次数。另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数 ( 上界 )

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数 ( 下界 )

例如：在一个长度为 N 数组中搜索一个数据 x

最好情况： 1 次找到

最坏情况： N 次找到

平均情况： N/2 次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以上面题中搜索数据时间复杂度为 O(N)

为什么计算机敢用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数？

因为cpu的运行速度很快，运行100次与运行100000000在速度方面差异并不明显，我们可以测试一下：

运行100次与运行100000000只相差了大概55毫秒（0.055秒），这还只是在Debug版本下，

在Release版本下的差异会更小

2.3常见时间复杂度计算举例

我们可以来做一些题目来帮助我们更好的理解大O的渐进表示法：

实例1：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

实例1基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

实例2:

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n",count);
}

实例2基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为O(N+M)

实例3:

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

实例3基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为O(1)

实例4:

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

实例4 基本操作执行最好 N 次，最坏执行了 (N*(N+1)/2) 次，通过推导大 O 阶方法 + 时间复杂度一般看最 坏，时间复杂度为 O(N^2)