一、算法效率

1.什么是算法效率

算法效率是指算法执行的时间，算法执行时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。

2.算法效率有什么用

在程序员这个群体中，每个人对于一个项目或者说是题目观测的角度不同，所以往往方法也是不同的，而在这些不同的方法中，肯定有好有坏，算法效率就是来判断方法好坏的。

3.算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

二、时间复杂度

1.什么是时间复杂度？

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。之所以不通过计算机的计算时间来判断其实还有一个原因，就是不同计算机的性能不可能一样，它们的cpu是不同的，人家用4090跑代码和你用小霸王跑代码速度肯定是天差地别的。

2.什么计算时间复杂度？

#include<stdio.h>
int main()
{
  int i = 0;
  int n = 0;
  int j = 0;
  scanf("%d", &n);
  for (i = 0; i < n; i++)
  {
    for (j = 0; j < n; j++)//嵌套打印n*n次
    {
      printf("%c", '*');
    }
  }
  for (i = 0; i < n; i++)//打印n次
  {
    printf("%c", 'a');
  }
  for (i = 0; i < 20; i++)//打印20次
  {
    printf("%c", 'b');
  }
}

不难看出，这串代码打印了n^2+n+20次，那么我们写时间复杂度是不是写 n^2+n+20，可以这么写，这么写是比较准确的，但是我们现在采用的时间复杂度计算方法往往都是大O的渐进表示法 啥事大O的渐进表示法啊？接下来我来给你解释

3.大O的渐进表示法

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数(系数)。得到的结果就是大O阶

那么上面那个n^2+n+20用大O的渐进表示法就是n^2,用数学的思想来看就是求极限，抓大头，取最关键的部分即可。那么这道题的时间复杂度我们就可以写成O(N^2),O()是固定写法，不能改变，代表的是你使用的方法是大O的渐进表示法，而N^2你可以随便写写成X^2也是没有任何问题的。只是大部分人的习惯是写成N。

4.时间复杂度计算实例

void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}

两个循环，一个循环次数为M，一个循环次数为N，总循环次数为M+N，把它们两个都看作无穷大，按最坏的来看，那么就是2倍的无穷，根据之前所知，2倍的无穷和1倍的无穷没有本质上的区别，它们都是无法穷尽的，故时间复杂度为O(N)，但再换个角度想，若是M相比于N非常小，那么就是N占主要，故时间复杂度为O(N),若是N相比于M非常小，那么就是M占主要，故时间复杂度为O(M),但本质一样，字母只是承载罢了。

void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}

这道比较难，从代码的角度不好看，我们就从实现的角度看，从实现的角度来看，最坏的情况就是排序n-1趟，而每排一趟的话都需要通过嵌套的循环将最大的排到最后，我们再假设这是个降序排序，也就是和我们的目标完全相反，这个时侯在第一次排序的时候，就要比对n-1个数据，第二次就是n-2，第三次就是n-3.....一直到n-1次，只比对1个数据，那么它的时间复杂度就是1+2+3+...+n-1是一个等差数列，通过小学的知识我们就可以知道这个等差数列的计算结果为(n*(n-1))/2，最后就会出现一个决定性的因素n^2,那么其它的小东西就都可以忽略了。故这道题的时间复杂度为O(N^2)

三、空间复杂度

1.什么是空间复杂度

空间复杂度和时间复杂度的计算是类似的，大部分情况下都比时间复杂度简单很多，因为空间复杂度的计算结果指的是你额外开辟了多少空间但大多数情况下我们都不会开辟很多个空间来解决问题，也不太可能开辟出上什么2^n之类的空间大小，所以空间复杂度的计算往往是相对简单的。

由于计算方法和时间复杂度类似，这里就不再赘述，直接上题目。

2.空间复杂度计算实例

void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}

继续用我们的老朋友冒泡排序举例，不难看出，在使用冒泡排序的过程中我们是没有创建新的很大的额外空间的，我们只是对着原有的数组进行操作，并在这期间创建了几个变量罢了，因此它的空间复杂度为O(1)

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if(n==0)
return NULL;
long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}

斐波那契的递归计算又创建了多少个额外的空间呢？有的小伙伴没看几眼，就觉得像是2^n，因为斐波那契数的展开像一颗二叉树一般，方向是对的，也正是因此，斐波那契数的递归计算的时间复杂度是O(2^N)，但可惜的是它的空间复杂度仅有O(N)，为什么？你可以这么理解，在做递归计算的时候，先把一个分支的内容完全计算出来再计算另一个分支的内容，而一个分支的内容被计算出来之后，它会把这个分支之前使用的空间还给操作系统，然后操作系统又会根据递归的另一个个分支使用这块空间，也就是说我们只需要看最长的那个分支即可有题目可知最长的分支创建了n-1个额外的空间，故它的空间复杂度为O(N)

好了，今天的分享到这里就结束了，感谢各位友友的来访，祝各位友友前程似锦O(∩_∩)O

时间复杂度详解