十、支持向量机
1. 优化目标
在讲支持向量机之前,我们先从逻辑回归开始渡过到支持向量机。
上面图中粉红色的那条线就是支持向量机的曲线,和逻辑回归很相似,代价函数都分两个部分构成。
支持向量机(Support vector machine)- SVM
支持向量机和逻辑回归不相同的主要在两个地方:
支持向量机代价函数没有m,因为就算没有m对最终θ的结果都没有影响,上面图左下就举了个例子。
逻辑回归的代价函数分两个部分,像上面一样我们分成A和B两部分,逻辑回归对于λ较为看重,因为它决定了A所占的权重。支持向量机没有λ,而是用另一种方式表示,拿C来代替,它会放在A上面,决定着B的权重。
支持向量机还有一个地方与逻辑回归不同的是,逻辑回归假设函数输出的是概率,而支持向量机假设函数输出的结果是直接预测了y是1还是0。
2. 直观上对大间隔的理解
来看看支持向量机代价函数肚饿图像,会发现:
当y=1时,我们希望θTx ≥ 1才能得到z为0,而不是单纯的只需其≥0即可。
当y=1时,我们希望θTx 小于等于 -1才能得到z为0,而不是单纯的只需其≤0即可。
而这个-1到1的间隔,我们称为安全间隔,如果我们想要让代价函数第一部分的式子为0,那么就要满足上面y=1或y=0的要求。接下来我们来看看,支持向量机的决策边界会呈现什么效果。
图中黑色的那条线就是支持向量机分类的结果,可以看出它和绿色与紫色的划分线不同,它与样本之间有一定的间距,所以我们有时候也会称SVM为大间距分类器(Large margin classifier)。
但是,如果我们将C设置的特别大的话,就会出下下面这种情况:
如上图紫色划分线,如果C太大,支持向量机对于异常值就会特别敏感,导致变化特别大,而如果C设置的很小,支持向量机对于异常值就会几乎忽略不计,就还会是我们上图的黑线那样。
3. 核函数
首先,我们来看一个复杂的非线性函数:
可以发现,这个函数中包含了一些复合的特征,那对于这种非常复杂的非线性边界,是否有更好的特征去代替这些f1、f2、f3等等呢。
核函数(Kernel)
假设我们通过给定一个x案例,并且选出三个标记(landmark),然后定义特征f为一个相似度函数,这里用到的函数就是高斯核函数(Gaussian kernels),是核函数中的一种。
接下来,我们来看看新特征内的具体计算。
可以发现,如果标记离给出的案例x点很近时,(xj-lj)2会几乎为0,那么e函数会接近于1,所以特征f就会接近于1;同样如果标记离给出的案例x点很远时,特征f就会接近于0,我们再来看一个具体的例子。
上图中我们对σ的值进行了改变,σ是高斯核函数的参数,当σ越小时,可以发现当x离l越远时,下降的比σ原先下降的更快,同理当σ越大时,则下降的会更慢。
现在我们再将这些新的特征代替原来函数中的特征,可以得到下面这个例子:
我们可以假设θ的值并取一些x进行计算,发现靠近l(1)和l(2)时,y都被预测为1;远离l(1)和l(2)时,y都被预测为0,从而利用核函数得到一个非线性的决策边界。
大概解释完上面核函数的流程后,我们来看看核函数中的标记l是如何选择的。
我们得到标记l的方式很简单,可以直接将训练集样本的位置作为标记的位置即可。
接下来,我们来看一下核函数的参数。
C(作用类似于正则化中的1/λ)
如果C很大,则对应着低偏差,高方差即过拟合问题。
如果C很小,则对应这高偏差,低方差即欠拟合问题。
σ2
如果σ2很大,则对应着高偏差,低方差即欠拟合问题。
如果σ2很小,则对应着低偏差,高方差即过拟合问题。
最后,我们再来对支持向量机中的核函数使用过程进行一个小回顾。
4. 使用SVM
这节课我们来讨论一下,使用SVM时的一些注意事项。
首先,第一个建议是不要尝试去写一些已经有人写好的数据包,直接去调用即可(例如liblinear,libsvm等)。
其次,你要注意的是,有两个地方是需要你人为完成的:
选择一个参数C。
选择一个核函数(相似函数)。
可以是线性的核函数即不使用核函数,这种一般是在特征很多,训练集很少容易过拟合的情况下使用。
可以是高斯核函数,这种一般是在特征很少,训练集比较多的情况下使用。
如果你选择了高斯核函数,那么在训练时若你的x特征之间差别特别大,需要进行等比例缩放。
除上述的两个函数之外,还有其他的核函数,但有效的核函数都要满足默塞尔定理(Mercer’s Theorem),即确保所有的SVM软件包能够利用大类的优化方法并从而迅速得到参数θ。
多项式核函数
通过改变参数增加一些参数来调整效果,并且x和l一般是非负的以保证内积大于0,如下图中的一些例子。
其他复杂函数
字符串核函数(String kernel),卡方核函数(chi-square kernel),直方相交核函数(histogram intersection kernel)等等。
再者,我们来讨论讨论SVM一对多的分类情况,这与逻辑回归中的一对多的方法一样,都是分别训练各个类别的分类器,预测时选取分类器得分最高的即可。
最后,我们来讨论一下逻辑回归和支持向量机何时使用较好。
如果特征比训练集多很多,则一般用逻辑回归或不带核函数的SVM。
如果特征很少,训练集数量适中,则一般用高斯核函数。
如果特征很少且训练集数量很大很大,则一般用逻辑回归或不带核函数的SVM。
神经网络不管对应哪个情形效果都不错,但是缺点是训练速度会比较慢。