四、多变量线性回归
1. 多功能
在之前的课程中，我们利用房屋的大小这一个特征来那个来预测房屋的价格，但是当特征量变多之后，就得改变应付此类问题的策略了，下图所介绍的是一些常用的表达。
n：表示有n个特征值。
x(i)：表示第i个训练样本的输入特征值。
xj(i)：表示第i个训练样本中第j个特征量的值。
接下来，我们将定义多特征量的表达式，如下：
表达式中的x1到xn为n个特征量的值，但是在开头的θ0并没有相应的特征量在旁边，所以我们为了方便记录，额外定义了一个特征量x0并让它的值恒等于1。这样，当将x于θ的值分别对应到矩阵中之后，就可以一目了然，就像上图中的x与θ的两个向量。而想要得到h(x)，只需将θ进行一次转置再与x向量相乘即可得到最终表达式。
小结
这以上的内容也就是所谓的多线性回归，有多个特征量来决定最终值。
2. 多元梯度下降法
因为现在设计到了多个特征量，所以我们的多元梯度下降算法也与之前的梯度下降算法有些许不同，如下所示：
跟之前的算法相比，其实本质上并没有什么区别，所用的算式也大同小异，只不过在多元当中，需要算的θ值就比之前要多很多，只是在θ0和θ1之后有添加了θ2等特征量的计算。
特征缩放（Feature Scaling）
因为J(θ)的函数图像会受到特征量的影响，所以如果当特征量之间数值相差很大时，就会得到一个非常窄的椭圆形，这会让梯度下降的步伐变得十分缓慢，它可能回来会横跳最终找到最优值。
相反，如果让特征量之间数值相差很小时，就如上图右侧所示，我们会得到一个更加圆的一个曲线图，这样的话会使梯度下降的路径变得更加直接快速，这其中所用到的方法就是特征缩放。
所以我们对于特征值的处理就要更加注意，下图就是给出相关的规范原则。
我们通常会将特征值通过各种方式限制在大约-1≤xi≤1这个范围内，但是如果稍微有所偏差是可以在接收范围内的，一般可以将这种“红线”扩大到-3到3或-1/3到1/3之间，如果偏差超过这些范围，那还需要多加考虑了。
除上述之外，我们在进行特征缩放时，有时也会进行 均值归一化（Mean normalization） 的工作，就是将xi替换成xi减μ，让特征量具有0的平均值。通俗点来讲，就是一种缩小特征值的方法，通过这种方法，我们可以将特征量的范围大致缩小在-0.5≤x≤0.5范围附近。
上图式中的μ1代表训练集中特征x1的平均值，而S1代表特征值的范围，也就是用x1的最大值减去最小值。
接下来，我将介绍两种测试自己梯度下降的算法正在正确的工作。
一般我们会更倾向于用第一种方法，也就是上图的左侧，通过得到minJ(θ)与迭代次数的函数图像，可以很清楚地观察梯度下降时候往对的方向进行。
而第二种方法就是上图的右侧，我们可以通过自动收敛测试观察是否已经收敛，也就是说通过判断J(θ)的值是否小于一个阈值来进行判断，但是这种阈值一般很难去取，所以通常会用上面的一个方法去判断。
通过上述的第一种方法，我们就可以对梯度下降正误进行判断，通常情况下造成图像不正常的情况是因为选取的α即学习率过大，使梯度下降的步伐过大，导致每次下降时都会越过最低点，这时就要减小α的值，例如下图所示：
实验发现，只要α足够小，J(θ)就总能找到最优值。
如果α过大的话，J(θ)可能不会在每一次迭代都下降，甚至可能不收敛（有些情况下也可能会出现收敛速度慢）；如果α过小的话，梯度下降的步伐就会很小，要经过漫长岁月才能找到最优值。
故通常情况下，我们会尝试不同的α值，通过观察J(θ)的变化情况，找到下降最快的所对应的α值。
3. 特征与多项式回归
现在我们考虑的特征量变多了，特征可以任意的进行选取，所以不能单单用一条直线就可以很好的拟合我们的数据，所以这时候要引入其他的函数，例如二次函数、三次函数等，这就是所谓的多项式回归（Polynomial regression）。
如果要用到梯度下降的话，我们还要考虑特征量之间的差值，如果相差太大就需要用到上节课所讲的特征缩放。
下面就是一个例子：
用二次函数可能不能拟合我们的数据，因为随着x的增大，二次函数反而会减小，所以这时候就可以用其他的函数例如带根号的函数，线性回归后能够更好地拟合数据。
4. 正规方程
前面我们是通过梯度下降来得到θ的最优解，但其实还有其它求θ最优解的办法，只用一个式子便可以求出，就是接下来要讲的。
正规方程（Gradient Descent）
下面就是一个例子：
我们可以假设一个x0恒等于1的特征量，然后将所有特征量放入一个矩阵，将目标值放入另一个矩阵，就能计算上面式子。
接下来，我将详细为你介绍求解的具体步骤，首先来看矩阵X与向量y是怎么得到的。
我们将数据集的每一个例子中的特征量分别转置放入矩阵X，也就是将每一个例子的特征量作为X的每一行，而目标值就直接竖着放入向量y。
用正规方程还有一个优点，就是它不用像梯度下降一样要进行特征缩放，它允许你的特征量之间的差值很大。
下面我将为你总结梯度下降与正规方程的优缺点。
梯度下降
优点：当n的值非常大的时候，它计算的效果任然会很好。
缺点：它需要通过很多测试去画J(θ)的图像得到α的最优值，并且想要得到最终的结果需要很多次的迭代。
正规方程
优点：它不用去选取α值，也不用进行迭代计算，只用一个式子便能得到最终结果。
缺点：因为式子中要计算(XTX)-1，所以如果n值特别大的话，计算这个式子会非常的慢。
小结
如果n值小于一万，则优先选择正规方程计算；如果n值大于一万，就建议去用梯度下降进行计算。
当然，你在计算(XTX)-1时可能会遇到有些矩阵没有逆矩阵的情况，那你可以有两个方法去解决：
检查是否有多余的特征
例如有些特征之间是有线性关系的，这时你可以删除其中一个特征。
检查特征是否过多了（e.g. m<n）
这时候你就要删除一些特征，或者采用正则化（regularization）。
