零空间是对于一个矩阵$A$，满足线性系统$Ax=0$，所有的解$x$组成的向量空间。由于矩阵$A$零空间本身隐藏在矩阵$A$的内部，所以它的存在相对抽象。
构造零空间的基
构造一个矩阵$A$的零空间的基，本质是对求出线性系统$Ax=0$的解空间进行简单变形，从而得到零空间的基。
- 示例说明：
存在矩阵A，通过高斯消元求取它的行最简形式:
从系数矩阵A 的行最简形式得到线性系统$Ax=0$的解$\vec x$的形式如下:
这个解的形式显示了组成线性系统$Ax=0$的任意一个解的内部分量所存在的线性关系，$x_1$和$x_2$这两个分量可以由其它四个分量$x_3,x_4,x_5,x_6$的线性组合所表示。将所有解改写成列向量形式:
从解的列向量形式可以看到对分量$x_3,x_4,x_5,x_6$取任意实数$R$，就可以得到线性系统$Ax=0$的所有解空间的其中一组解$\vec x=(x_1,x_2.x_3,x_4,x_5,x_6)$，这个解可通过单独提出分量$x_3,x_4,x_5,x_6$拆分成以下形式的线性组合进行表示:
拆分后得到的四个线性无关的向量$\vec v_1=(1,-2,1,0,0,0)，\vec v_2=(2,-3,0,1,0,0)，\vec v_3=(3,-4,0,0,1,0)，\vec v_4=(5,-6,0,0,0,1)$，通过这四个向量的线性组合$k_1 \vec v_1+k_2 \vec v_2+k_3 \vec v_3+k_4 \vec v_4$就可以表示出线性系统的解$\vec x$，意味着线性系统的解$\vec x$构成的空间就是向量$\vec v_1， \vec v_2， \vec v_3，\vec v_4$的生成空间，也就是系线性系统系数矩阵$A$的零空间。由空间的基的定义(给定$n$维空间的一组基，则空间中的任意一个向量都可以表示成这组基的线性组合)可知，这个四个线性无关向量$\vec v_1， \vec v_2， \vec v_3，\vec v_4$就是它们生成空间的基，也是线性系统系数矩阵$A$的零空间的基，这个空间的维度就是$4$。
综上，对于线性系统$Ax=0$，把系数矩阵$A$化为行最简形式之后，自由列的列数就是矩阵A的零空间的维度:
秩-零度化定理
对于一个$m*n$的矩阵有，将其化为行最简形式后，主元列数为其列空间的维度，也就是矩阵的秩，同时也是矩阵行空间的维度。当求出矩阵的主元列列数$r$，则矩阵的自由列列数(也就是矩阵的零空间的维度)等于$n-r$。就有 $\color {#e94513} {矩阵的列空间的维度+ 零空间的维度 = n}$ 。
列空间的维度也就是矩阵的秩，零空间的维度的专业名词叫做$零化度(Nullity)$
$\therefore 秩-零度化定理: \ \ \ 秩(rank) +零化度(Nullity) = n $
零空间的维度为0
零空间的维度等于一个矩阵的行最简形式中自由列的个数，当一矩阵全部都是主元列的时候，也就是一个$m*n$的矩阵的列空间的维度为$n$的时候，矩阵的零空间维度为0。对于一个方阵来说，即为满秩的时候，矩阵的零空间维度为0
理解上一章节线代--零空间中最后的疑惑
为什么对于两个平面(二维欧式空间)，它们在三维空间内不可能正交的，它们只可能在四维空间中出现正交。
首先，矩阵的零空间是与矩阵的行空间正交的一个空间，零空间内的任意向量垂直于行空间的所有向量；
对于一个$m*n$的矩阵来说，行空间和零空间都是一个$n$维空间的子空间；
假设矩阵的行空间是一个二维欧式空间的话，那么矩阵的零空间的维度是$n-2$；
如果$n=3$，就是在一个三维空间内，同时能存在一个二维子空间和一个一维子空间正交；
当$n \ge 4$，就是在一个四维以上的空间内，当存在一个二维的子空间(矩阵的行空间)的前提下，能找到另一个二维子空间(矩阵的零空间)与矩阵的二维行空间正交。所以两个二维欧式空间正交只能在四维以上的空间内发生。
