1、空间的基的概念
若$m$个向量生成$n$维$\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{m}$空间，$m$最小是为$n$；
若$m > n$，则$\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{m}$线性相关；
若$m$个$n$维向量线性无关，$m$最大为$n$。
$\color {skyblue} { \small理解线性无关:} $
$\color {skyblue} {\small 求证线性无关 等价于求证是否存在一组全为的系数k,使得k_{1} \cdot \vec v_{1} \add \ k_{2} \cdot \vec v_{2} \add \ k_{3} \cdot \vec v_{3} + \cdots \add \ k_{m} \cdot \vec v_{m} = 0\Leftrightarrow 转而判断m个n维向量组成的系数矩阵 A \cdot \vec k = 0 有唯一零解} $
$\color {skyblue} { \small m个不共线的n维向量组成的线性系统A\cdot \vec k =0，是一个方程数大于未知数的线性系统，且行阶梯式的非零行个数等于未知数个数，所以有唯一零解，证得m个(m < n)个n维向量线性无关}$
若一组向量可以生成整个$n$维空间，且线性无关，这组向量一定有$n$个，则称这组向量为这个$n$维空间的一组$\color {red} {基(bases)}$
因为可以生成整个$n$维空间的$n$个线性无关的$n$维向量可以有无数组，所以一个空间可以有无数组基。
从一个低维空间--二维空间来看待空间的基
在二维空间中，任取两个不共线的向量$\vec u$和$\vec v$，它们就是二维空间的一组基，任意第三个向量都可以表示为$\vec u$和$\vec v$的线性组合。
基可以理解为一个初等数学接触的坐标系概念，$\vec e_{1}，\vec e_{2}$是二维空间一组坐标系，$\vec u，\vec v$也是一组坐标系，在这些坐标系下都可以观测到二维空间的任意一个点，区别在于不同的坐标系空间中同一个点的表示方式是不一样的。
给定$n$维空间的一组基，则空间中的任意一个向量都可以表示成这组基的线性组合，且这个向量在这组基下的表示方法唯一。
证明：对$n$维空间中的任意一个向量$\vec u$，求证是否一定存在一组$k$，使得：
$k_{1} \cdot \vec e_{1} + k_{2} \cdot \vec e_{2} + \cdots + k_{n} \cdot \vec e_{n} = \vec u$
等价于求解线性系统:$\begin {bmatrix}1&0&\cdots 0\\ 0&1&\cdots 0 \\ \cdots& \cdots&\ \cdots \\ 0&0&\cdots 1 \end {bmatrix} \ \begin {bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \\ \cdots \\ k_{n} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ \cdots \\ u_{n} \end {bmatrix}$
对于这个线性系统，系数矩阵$A$一定可逆，所以一定有解，且有唯一解$(A \cdot x =b \to x = A^{-1} \cdot b)$
2、空间的基的性质
- n维空间中，任意n个线性无关的向量，一定是这个n维空间的基；
- n维空间中，额如果n个向量可以生成整个空间，则这n个向量，是这个n维空间的基；
- 如果一组向量$\vec v_{1},\vec v_{2},\cdots ,\vec v_{p}$可以生成$n$维空间$(p \geq n)$，则这组向量的存在一个子集，是$n$维空间的一组基。--- 该结论表明，很多时候，我们并不需要构造$n$维空间的一组基如果，当存在$p$个向量可以生成整个$n$维空间的时候，只需要从这组向量里挑选出一个包含$n$个线性无关向量的子集就可以成为这个$n$维空间的一组基
对于$m$个线性无关的$n$维向量，若$m < n$，这$m$个向量无法生成整个空间；降低到三维空间来理解就是，如果只给出两个三维空间的向量$\vec u,\ \vec v$，它们只能形成一个平面，则这两个向量的任意线性组合都在平面上，无法生成不在平面的向量。当$m =n$ 时，$m$个线性无关的$n$维向量可以生成整个空间，且可以成为空间的基。当$m >n$，此时这$m$个向量变成线性相关组，可以生成整个空间但不是空间的基。
