若在二维空间中任何向量，都可以表示为$\vec u$和$\vec v$的线性组合，则可以说$\vec u$和$\vec v$生成整个二维空间。
在$\vec u， \vec v$生成的二维空间中，如加入一个向量$m$，那么向量组$\vec u， \vec v， \vec m$ 也可以生成整个二维空间，这个二维空间中，任意一个向量都可以表示为这三个向量的线性组合。由于向量组$\vec u， \vec v $已经生成了整个二维空间， 那么空间内任意一个向量都可以由$\vec u， \vec v $的线性组合所表示，当向量$ \vec m$加入进来之后，只要向量$\vec m$的组合常数$k$取零，那么$\vec u， \vec v， \vec m$ 三个向量的线性组合就可以表示任意一个向量，所以说$\vec u， \vec v， \vec m$生成整个二维空间。
生成一个二维空间，至少需要两个向量。
- 如果只有一个向量，如向量$\vec v$，通过一个向量$\vec v$的线性组合获得的向量一定在$\vec v$向量所在的直线上，因为一个向量前面乘以一个系数$k$本质只是在对向量进行缩放。所以一个向量无法生成一个二维的面。
- 最少肯定也不是3个向量，因为如果已经存在两个向量不共线，那么这第三个向量就可以由前两个向量的线性组合所表示，在这种情况下，第三个向量就已经是多余的了。
推广到空间中，若空间中的任一向量都可以表示成$\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{p}$的线性组合，则称这些向量可以生成这个空间。要生成一个$n$维空间，至少需要$n$个向量才能够生成。其中，对于$n$个向量，若这$n$个向量存在共线向量，是不可以生成$n$维空间的。
证明：当且仅当由$n$个$n$维向量的列向量组成的方阵A有逆的时候，可以生成整个$n$维空间。
若$n$个$n$维向量$\vec v$生成整个空间，那么对于这$n$个向量$\vec v$的列向量组成的系数矩阵$A$与$n$维空间中的任意一个向量$\vec u$组成的线性系统是一定有解的，也就是$n$维空间里的任意向量都可以由生成空间的$n$个$n$维$\vec v$向量的一个唯一线性组合表示。由于$\vec u$是空间中任意一个向量，所以向量$\vec u$的分量是随机的($u_{i}$可能为是一个非零数)，因此线性系统的系数矩阵$A$的行最简形式一定不能存在零行，若存在零行，那么矩阵$A$无解， 向量组$\vec v$的线性组合无法表示空间内的向量$\vec u$ 。
既然系数矩阵$A$的行最简式都是非零行,那么线性系统满足$n$个未知数和$n$个方程，所以线性系统不可能有无穷解，只有有唯一非零解。此时当一个线性系统只有唯一解的时候，意味着对应的增广矩阵的系数矩阵$A$一定是可逆的，因为只有可逆矩阵满足$Ax=b \to x= A^{-1}b$。
