算法知识点
分治算法
分治算法——将一个复杂的问题分解成若干个规模较小、相互独立，但类型相同的子问题求解；然后再将各子问题的解组合成原始问题的一个完整答案，这样的问题求解策略就叫分治法。
算法题目来源
（1）在互不相同的n个数{x1, x2,…, xn}中找出最大和最小的数。
（2）二分搜索技术；
算法题目描述
在互不相同的n个数{x1, x2,…, xn}中找出最大和最小的数。
做题思路
分治算法总体思想。将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题,对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题。
如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止，对这k个子问题分别求解。将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。分治法的适用条件
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
.该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
.该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题；
.利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
.该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
递归的概念
模板代码
分治法算法框架
SolutionType DandC(ProblemType P)
{
ProblemType P1,P2,…,Pk;
if (Small§) return S§; //解决小规模的问题
else {
Divide(P,P1,P2,…,Pk); //将问题分解成子问题P1,P2,…,Pk
Return Combine(DandC(P1),DandC(P2),…,DandC(Pk));
//递归的解各子问题,并将各子问题的解合并为原问题的解
}
}
SolutionTypeDandC(intleft,intright)
{if (Small(left,right)) return S(left,right);//解决小规模的问题
else {
intm=Divide(left,right);
//以m为界，将问题分解成两个子问题
Return Combine(DandC(left,m),DandC(m+1,right));
//分别递归求解子问题,并将子问题的解合并为原问题的解
}
}
做题过程中遇到的bug及解决方案
方法一：分别求最大值和最小值
分别需要n-1次和n-2次元素间的比较，共2n-3次。
方法二：同时求最大元和最小元（程序5-4）
if (n==0) return; max=min=l[0]; for (int i=1;i<n;i++){ if (l[i]>max) max=l[i]; if (l[i]<min) min=l[i]; }
此算法最好、最坏、平均情况下都需要2n-2次元素比较。
方法二（改进）：只有当l[i]>max为假时才比较l[i]<min
if (n==0) return; max=min=l[0]; for (int i=1;i<n;i++){ if (l[i]>max) max=l[i]; elseif (l[i]<min) min=l[i]; }
算法执行的最好情况发生在表递增有序时，需比较n-1次；
最坏情况发生在表递减有序时，需比较2(n-1)次。
方法三：用分治法来解决，将原问题分解为大小基本相等的两个子问题，直到子问题中只有一个或两个元素可以直接求得最大、最小元；如果已经求得子表中的最大、最小元，则原表的最大元是两子表的最大元中较大的一个，原表的最小元是两子表的最小元中较小的一个。递归过程为：
void SortableList::MaxMin(int i,int j,T& max,T& min) const { T max1,min1; if (i==j) max=min=l[i];//表中只有一个元素 elseif (i==j-1)//表中只有两个元素 if (l[i]<l[j]){max=l[j]; min=l[i];} else{max=l[i];min=l[j];} else{//表中有多个元素 int m=(i+j)/2;//对半分割 MaxMin(i,m,max,min); MaxMin(m+1,j,max1,min1); if (max<max1) max=max1;//两子表最大元合并 if (min>min1) min=min1;//两子表最小元合并 } }
相关算法题型题目总结
二分搜索
该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题;
分解出的子问题的解可以合并为原问题的解；
分解出的各个子问题是相互独立的。采用分治法求解，在已按关键字值非减排序的有序表中，搜索给定元素的问题。
分析：.该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题;分解出的子问题的解可以合并为原问题的解；分解出的各个子问题是相互独立的。
要在按关键字值非减排序的长度为n的有序表（a0,a1,…,an-1)中找出与特定元素x有相同关键字值的元素。
搜索结果可以返回整个数据元素，也可以指示该元素在表中的位置。
若表中元素的个数n=0，显然搜索失败；
若n>0，则可将有序表分解为若干个子表（最简单的分解为两个子表，即为有序表的二分搜索。）假设元素am为分割点。
am与x比较的结果有三种可能：
1）x< am，关键字值与x相同的元素必在子表(a0,a1,…,am-1)中；
2）x=am，搜索成功；
3）x>am，关键字值与x相同的元素必在子表(am+1,am+2,…,an-1)中。
分治法搜索有序表的二分搜索算法框架：
template<class T> int SortableList<T>:BSearch(const T& x, int left, int right)const { if (left<=right){ int m=Divide(left,right); // Devide函数按某种规则求分割点m if (x<l[m]) return BSearch(x,left,m-1);//搜索左边子表 else if (x>l[m]) return BSearch(x,m+1,right);//搜索右边子表 else return m;//搜索成功 } return -1;//搜索失败 }
//对半搜索递归算法： template<class T> int SortableList<T>:BSearch(const T& x, int left, int right)const { if (left<=right){ int m=(left+right)/2;// 对半分割：m=(left+right)/2 if (x<l[m]) return BSearch(x,left,m-1);//搜索左半子表 else if (x>l[m]) return BSearch(x,m+1,right);//搜索右半子表 else return m; } return -1; }
定理
对半搜索算法在搜索成功时的平均时间复杂度为Θ(logn)。对半搜索算法在成功搜索的情况下，关键字值之间的比较次数不超过。对于不成功的搜索，算法需要进行或次比较。
