正文

一、单调性的判定法

如果函数y=f(x)在[a,b]上单调增加(单调减少)，那么它的图形是一条沿x轴正在上升(下降)的曲线.可知，这时曲线上各点的切线斜率是非负的(非正的)，即y′=f′(x)≥0（y′=f(x)≤0），反之亦然.

可见，函数的单调性与其导数的符号有密切的关系.

由此可得

定理：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.

(1)如果(a,b)内f′(x)≥0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加；

(2)如果(a,b)内f′(x)≤0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少；

二、函数极值点

函数极值的定义：设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0）内有定义。如果对于去心邻域U˚(x0)内的任一x，有

f(x)<f(x0)（或f(x)>f(x0)）

那么就称f(x0)f(x0)是函数f(x)f(x)的一个极大值(极小值).

联系函数的单调性可知，函数的极值点一般出现在其导数为0的点(驻点，又称稳定点)，或者不可导点(导数不存在)

要使驻点是极值点，必须满足该点两侧的导函数正负符号相反.

需要明确的是，函数的极值点并不是一个点，而是极值所对应的x值.

在上图中，x1、x2、x4、x5、x6均为驻点，且是极值点，而x3是一个驻点，但不是极值点.

下面是可导函数取极值的充分必要条件说明

①第一充分条件：

设函数f(x)在x0处连续，且在x0x0的某去心邻域U˚(x0,δ)U˚(x0,δ)内可导

(1)若x∈(x0−δ,x0)时，f′(x)>0；而x∈(x0,x0+δ)时f′(x)<0，则f(x)在x0处取得极大值；

(2)若x∈(x0−δ,x0)时，f′(x)<0；而x∈(x0,x0+δ)时f′(x)>0，则f(x)在x0处取得极小值；

(3)若x∈(x0，δ)时，f′(x)的符号保持不变，则f(x)在x0处没有极值.

②第二充分条件：

设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f′(x0)=0,,f″(x0)≠0，则

(1)当f′′(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值；

(2)当f′′(x0)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值.

③必要条件

设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则f′(x0)=0

这个条件说明：可导函数f(x)的极值点必是它的驻点。但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。所以，函数的驻点只是可能的极值点.此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值.