正文

一、多元函数的极值及最大值与最小值：

**定义：**设函数z = f ( x , y ) 的定义域为D ， P 0 ( x 0 , y 0 ) D，为D 的内点。若存在P0的某个邻域U ( P 0 ) ⊂ D

若对于该邻域内异与P0的任何点( x , y 都有：

f ( x , y ) < f ( x 0 , y 0 )

则称函数f ( x , y )在点( x 0 , y 0 ) 有极大值f ( x 0 , y 0 ) ，点( x 0 , y 0 ) 称为函数f ( x , y )的极大值点；若对于该邻域内异与P0 的任何点( x , y ) 都有：

f ( x , y ) > f ( x 0 , y 0 )

则称函数f ( x , y 在点( x 0 , y 0 )有极小值f ( x 0 , y 0 )点( x 0 , y 0 )称为函数f ( x , y ) 的极小值点；

极大值与极小值统称为极值。使得函数取得极值的点称为极值点。

**定理1(必要条件)：**设函数z = f ( x , y )在点( x 0 , y 0 ) 具有偏导数，且在点( x 0 , y 0 ) 处有极值，则有

f x ( x 0 , y 0 ) = 0 ,   f y ( x 0 , y 0 ) = 0

**定理2(充分条件)：**设函数z = f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又f x ( x 0 , y 0 ) = 0 ,   f y ( x 0 , y 0 ) = 0令

f x x ( x 0 , y 0 ) = A ,   f x y ( x 0 , y 0 ) = B ,   f y y ( x 0 , y 0 ) = C

则有

则f ( x y )在( x 0 , y 0 ) 是否取得极值的条件如下：

D>0时，有极值，当A < 0时有极大值，当A > 0 时有极小值；

D < 0 时，没有极值；

D = 0 时，另做讨论。

二、条件极值与拉格朗日数乘法：

条件极值的定义：对自变量有附加条件的极值称为条件极值。

例如：

其中ϕ ( x , y ) = 0 就 是 函 数 z = f ( x , y )的条件，在这个条件下取得的极值就叫条件极值

此时引进辅助函数

函数L ( x , y )称为拉格朗日函数，参数λ称为拉格朗日乘子

拉格朗日乘数法：

由拉格朗日函数可以得到：

与条件相结合可以得到：

解此方程组得到的( x , y )就是函数f ( x , y ) 在附加条件ϕ ( x , y ) = 0 下的可能极值点，至于具体是还是不是，要根据实际问题本身的性质来判定。