正文

导数的定义：

设函数y=f(x)在点x0处的某个邻域有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx(点x0+Δx）仍在该邻域内)时，相应地，因变量取得增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0))；当在Δx→0时，如果Δy与Δx之比的极限存在，那么称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为f′(x)得，导数定义式：

导数的定义式亦可取下面两种形式：

不同的导数定义式其含义不同：

例：假设f′(x)均存在，观察下列极限中A表示什么。

(1)

解：

令 x=x0−Δx则 x0=x+Δx，代入原式中得：

解：

令 x=x0−h，则 x0=x+h，代入原式中得:

若要证明函数f(x)f(x)在某一点处连续且可导，则在这一点上有

• 该点的两个单侧导数(左、右导数)存在且相等
• 原函数在该点的左右极限存在且相等

例：设函数

为了使函数 f(x)在 x=1处连续且可导, a,b应取什么值？

解：