一日一技：二进制减法是如何进行的

在计算机中，负数是使用它的补码来表示的。所谓补码，就是反码+1。所谓反码，就是二进制数逐位取反。所谓逐位取反，就是1变成0，0变成1。例如：

原来的二进制数： 1011011101101反码： 0100100010010补码： 0100100010011

在数学里面，当我们判断一个正数和负数的时候，是通过这个数字前面的负号来判断的，例如： 5和 -5。但是由于计算机里面只有0和1，如何表示负号呢？因此可以使用一个额外的1来表示。例如：

正数： 0101负数： 1101

其中最左边的0和1表示的是符号位，0为正数，1为负数。

如果到这里，你以为你看懂了，那么我问你一个问题，下面几个数有什么区别：

0101
00101
000101
0000101
00000101

下面几个数有什么区别：

1101
10101
100101
1000101
10000101

实际上，他们表示的是不同位数条件下的同一个数。因为在计算机中，你定义一个数字的时候，是需要先提前指定这个数的类型的。例如int型、long型等等。（即便你用的Python，不需要人工指定，但是在底层它也会自动指定）。所以，如果我直接说：数字5在计算机中是怎么储存的，是没有意义的。应该说，数字5在8位整型下面是怎么储存的、在32位整型下面是怎么储存的：

00000101   # 8位整型
00000000000000000000000000000101  # 32位整型

所以，对于-5，在8位整型和32位整型下面，他们是这样储存的：

10000101   # 8位整型
10000000000000000000000000000101  # 32位整型

在计算机中，一个正数的补码就是它自身，例如 00000101的补码还是 00000101，而负数的补码，就需要根据补码的规则进行计算，例如在8位整型下，-5的补码运算规则如下：

1. 首先计算正5的二进制数：00000101
   
2. 逐位取反：11111010
   
3. 加1：1111011
   

接下来，例如我们在8位整型下，计算9-5的值，那么在计算机中，运算过程为：

1. 求9的二进制补码（正数的补码就是它自身）：00001001
   
2. 求5的二进制补码：11111011
   
3. 两个补码相加：100000100
   
4. 由于我们是在8位整型的环境下，所以最左边这个1被直接丢掉了（溢出），结果变成：00000100
   
5. 对结果再求补码。由于结果00000100最左边是0，表示正数，所以补码是自身。因此二进制数00000100对应的十进制数为4，就是正确结果。
   

再来看看8位整型条件下：10 - 13 = -3的过程：

1. 计算10的二进制数补码：00001010
   
2. -13的二进制补码：11110011
   
3. 两个补码相加：11111101
   
4. 对结果求补码，由于最左边这一位是1，表示负数，所以要把十进制负数转二进制补码的过程反过来
   
5. 先转成十进制正数对应的二进制数：00000011为3
   
6. 把负号加上：-3，答案正确
   

这里需要说明的是，在计算机中做二进制数运算时，一定要明确是在多少位的整型前提下进行的，这样才能够正确处理位数溢出的问题。

由于位数溢出，在计算机中才会出现两个正数相加，结果却是负数的情况。例如：

127 + 1，在数学上结果为128，但是在计算机中，8位整型的情况下，结果为-128。原因如下：

1. 计算127对应的二进制补码：01111111
   
2. 计算1对应的二进制补码：00000001
   
3. 两个补码相加：10000000
   
4. 由于结果的最左侧为1，表示负数，因此要把十进制负数转二进制补码的过程反过来
   
5. 先转成十进制正数对应的二进制补码：10000000（没错，10000000的补码恰好还是10000000）也就是128
   
6. 加上负号：-128