数制和编码

进位计数制与其相互转换

首先我们来看一下,这一标题下我们讲什么;

在进位计数法中，每个数位所用到的不用数码的个数称为基数.十进制的基数为10(0-9）,每个数位计数满10就向高位进位，即"逢十进一".

十进制数101，其个位的1显然与百位的1所表示的数值是不同的。每个数等于该数码本身乘以一个与它所在数位有关的常数,这个常数称为位权。一个进位数的数值大小就是它的各位数码按权相加.

我们能不能把十进制的计数方法推广到其他进制囊？当然是可以的

推广:r进制计数法

二进制:计算机中用得最多的是基数为2的计数制，即二进制。二进制只有0和1两种数字符号,计数"逢二进一"。它的任意数位的权为2^i，i所在位数.

八进制:八进制作为二进制的一种书写形式,其基数为8，有0-7共8个不同的数字符号，计数"逢八进一'。因为r=8=2^3,所以只要把二进制中的3位数码编为一组就是一位八进制数码,两者之间的转换极为方便。

十六进制:十六进制也是二进制的一种常用书写形式.其基数为16，"逢十六进一'。每个数位可取0-9，A,B,C,D,E,F中的任意一个,其中A，B,C,D,E,F分别表示10-5，因r=16=2^4.因此4位二进制数码与1位十六进制数码相对应。

任意进制->十进制

二进制数转换为八进制数，十六进制

各种进制的常见书写形式

十进制转换为任意进制数

一个十进制转换为任意进制数，常采用基数基数乘除法。这种转换方法对十进制数的整数部分和小数部分将分别进行处理，对整数部分用除基取余法，对小数部分用乘机取整法,最后将整数部分与小数部分的转换结果拼接起来。

除基取余法:整数部分除基取余，最先取得的余数为数的最低位,最后取得的余数为数的最高位,商为0时结束.

乘基取整法:小数部分乘基取整,最先取得的整数为数的最高位,后取到的整数为数的最低位，乘积为1.0是结束

例题:

注意:小数和整数不一样,整数可以连续表示,但小数是离散的，并不是每个十进制小数都可以准确地用二进制表示.例如上面的这个，无论经过多少次，都不会得到一个精确的结果.

真值和机器数

真值:如+15，+8,等.这种带"+","-"符号的数称为真值,真值是机器数所代表的实际值

在计算机中,通常采用的符号和数值在一起编码的方法来表示数据.常用的有源码，反码，补码这几种表示法.这几种表示法都将数据的符号数字化,通常用"0"表示正,“1”表示负.如0.101这里的都好不存在，仅为区分符号位与数值位,这种把符号数字化的数称为机器数

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BCD码

二进制编码的十进制数，通常采用4位二进制数来表示一位十进制数中的0-9这10个数码.这种编码方法使二进制数和十进制数之间的转换得以快速进行。但4位二进制数可以组合出16中代码，因此必有6种状态为冗余状态.

8421码

若两个8421码相加之和小于等于1001，即9,则不需要修正；若相加之和大于等于1010，即10，则需要加6修正(从1010到1111这6个为无效码，当运算结果落于这个区间时,需要将运算结果加6)，并向高位进位,进位可以在首次相加或修正时产生.

余3码

这是一种无权码,是在8421码的基础上加0011形成，因每个数都多余"3"因此称为余3码;

2421码

这也是一种有权码,权值由高到低分别为2,4,2,1.特点是大于等于5的4位二进制数中最高位位1，小于5的最高位为0.、

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字符和字符串

字符编码ASCII码

目前国际上普遍采用的一种字符系统是7位二进制编码的ASCII码,它可表示10个十进制数码,52个英文大写字母和小写字母，及一定数量的专用符号，共128个字符

在ASCII码中，编码值0-31为控制字符，用于通信控制或设备的功能控制;编码值127是DEL码;编码值32是空格SP：编码值32-126共95个字符称为可印刷字符.

提示:0-9的ASCII码值为48(011 0000)-57（011 1001)，即去掉高3位,只保留低4位,正好是二进制形式0-9.

汉字的表示和编码

汉字的编码包括汉字的输入编码,汉字内码,汉字字形码三种,它们是计算机中用于输入内部处理和输出三种用途的编码.区位码它用两个字节表示一个汉字,每字节用7位码，并将汉字和图形符号排列在一个94行94列的二维代码表中。区位码是4位十进制数,前2位是区码,后两位是位码.国标码将十进制的区位码转换成十六进制数后,再在每个字节上加上20H。国标码两个字节的最高位都是0,ASCII码最高位也是0。为了方便计算机区分中文和英文字符，将国标码两个字节的最高位都改为"1"，这就是汉字内码.

国标码=十六进制区位码+2020H

汉字内码=十六进制国标码+8080H

字符串

大端模式:将数据的最高有效字节存放在低地址单元中

小端模式:将数据的最高有效字节存放在高地址单元中

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校验码

校验码使之能够发现或能够自动纠错的数据编码,也称检错纠错编码.校验码的原理是通过增加一些冗余码，来检验或纠错编码。

通常某种编码有许多码字构成，任意两个合法码字之间最少变化的二进制位数，称之为数据校验码的码距。对于码距不小于2的数据校验码,开始具有检错能力。码距越大，检错，纠错能力就越强.而且检错能力总是大于等于纠错能力.

奇偶校验码

在原编码上加一个校验位,它的码距等于2，可以检测一位错误，但不能确定出错的位置，也不能够检测出偶数位错误，增加的冗余位称为奇偶校验位

奇偶校验实现的方法，由若干位有效信息再加上一个二进制位组成校验码，校验位的取值(0/1)将使整个校验码中"1"的个数为奇数或偶数；

奇校验码:整个校验码中"1"的个数为奇数

偶校验码:整个校验码中"1"的个数为偶数

例:

缺点:奇偶校验只能发现数据代码中奇数位的出错情况,但不能纠正错误,常用于对存储器数据的检查或传输数据的检查.

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海明校验码

海明码是广泛采用的一种有效的校验码,它实际上是一种多重奇偶校验码.其实现原理是在有效信息位中加入几个校验位形成海明码,并把海明码的每个二进制位分配到几个奇偶校验组中.

当某一位出错后，就会引起有关的几个校验位的值发生变化，这不但可以发现错位，还能指出错位的位置.

海明码的求解步骤