第 12 章 多路查找树

1、二叉树与 B 树

1.1、二叉树存在的问题

• 二叉树的操作效率较高，但是也存在问题, 请看下面的二叉树
• 二叉树需要加载到内存的，如果二叉树的节点少，没有什么问题，但是如果二叉树的节点很多(比如1亿)， 就存在如下问题:
• 问题1：在构建二叉树时，需要多次进行i/o操作(海量数据存在数据库或文件中)，节点海量，构建二叉树时，速度有影响
• 问题2：节点海量，也会造成二叉树的高度很大，会降低操作速度

1.2、多叉树的基本介绍

• 在二叉树中，每个节点有数据项，最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点，就是多叉树（multiway tree）
• 后面我们讲解的2-3树，2-3-4树就是多叉树，多叉树通过重新组织节点，减少树的高度，能对二叉树进行优化
• 举例说明(下面2-3树就是一颗多叉树)

1.3、B 树的基本介绍

• B树通过重新组织节点，降低树的高度，并且减少i/o读写次数来提升效率。
• 如图B树通过重新组织节点， 降低了树的高度。
• 文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页(页的大小通常为4k)，这样每个节点只需要一次I/O就可以完全载入
• 将树的度M设置为1024，在600亿个元素中最多只需要4次I/O操作就可以读取到想要的元素，B树(B+)广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中

1.4、2-3 树基本介绍

1.4.1、2-3 应用案例

2-3树是最简单的B树结构，具有如下特点:

• 2-3树的所有叶子节点都在同一层(只要是B树都满足这个条件)
• 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点
• 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点

2-3树是由二节点和三节点构成的树。

2-3 树插入规则:

• 2-3树的所有叶子节点都在同一层(只要是B树都满足这个条件)
• 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点
• 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点
• 当按照规则插入一个数到某个节点时，不能满足上面三个要求，就需要拆，先向上拆，如果上层满，则拆本层，拆后仍然需要满足上面3个条件。
• 对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则

将数列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成2-3树，并保证数据插入的大小顺序，演示一下构建2-3树的过程

• 插入 24 时，构成二节点

• 插入 12 时

• 不能将其放在 16 的左边，这样就是四节点了。。。
• 不能直接挂在 16 的左下位置，这样就不满足【2-3树的所有叶子节点都在同一层】这个条件
• 所以需要拆掉上一层的节点，将其重新组合成 2-3 树

• 插入 32 时，可直接放在 24 的右边，构成一个三节点

• 插入 26 时

• 不能将其放在 24 的右边，这样就是四节点了。。。
• 不能直接挂在 24 的右下位置，这样就不满足 B 树的条件
• 所以需要拆掉上一层的节点，将其重新组合成 2-3 树

• 插入 34 时

• 插入 10 时

当插入10时，应当在 10 - 12 -14 这个位置，但是这时满了，因此向上层看， 16-26 也满了

因此将 10-12-14 拆 成 10 <-12->14 ，因为其它拆法，并不能满足 二节点或三节点的要求

但是这时，叶子节点没有全部在同一层，需要调整 26 这个值到下面(如图)

• 插入 8 时

• 插入 28 时

• 插入 38 时

• 插入 20 时

1.4.2、其他说明

• 除了2-3 树，还有 2-3-4 树等，概念和 2-3 树类似，也是一种B树。 如图:

1.5、B树的介绍

B-tree 树即 B 树，B 即 Balanced ，平衡的意思。有人把B-tree 翻译成 B- 树，容易让人 产生误解。会以为 B- 树是一种树，而 B 树又是另一种树。实际上，B-tree 就是指的 B 树。

前面已经介绍了2-3树和2-3-4树，他们就是B树(英语：B-tree 也写成B-树)，这里我们再做一个说明，我们在学习Mysql时，经常听到说某种类型的索引是基于B树或者B+树的，如图

B树的说明：

• B树的阶（度）：节点的最多子节点个数。比如2-3树的阶是3，2-3-4树的阶是4
• B树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点
• 关键字集合分布在整颗树中，即叶子节点和非叶子节点都存放数据
• 搜索有可能在非叶子结点结束
• 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

1.6、B+ 树的介绍

• B+树是B树的变体，也是一种多路搜索树。
• B+树的说明：
• B+树的搜索与B树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找
• 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】），且链表中的关键字(数据)恰好是有序的。
• 不可能在非叶子结点命中
• 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层
• B+树的所有叶结点构成一个有序链表，可以按照关键码排序的次序遍历全部记录
• B+树更适合文件索引系统，B树和B+树各有自己的应用场景，不能说B+树完全比B树好，反之亦然

• 自己对 B+ 树的理解：
• 就拿有序数列 { 8, 10, 12, 14, 16, 20, 24, 26, 28, 32, 34, 38 } 来说，如果链表形式存储，搜索效率肯定低得一匹
• 但是有没有什么方法可以改进呢？一种就是前面所说的二叉树，还有一种就是现在说的 B+ 树
• B+ 树到底是什么个意思？比如说我们想要查找 28 这个数，从前面挨个往后查找肯定是不行滴，但是我们知道 28 肯定是在 26 和 38 之间，有这个思路就可以了
• 我们手动将 { 8, 10, 12, 14, 16, 20, 24, 26, 28, 32, 34, 38 } 分成几个区间，查找 28 时，直接去他所在区间查不就快得多了吗？这个所谓的区间，也就是我们常说的索引

1.7、B* 树的介绍

• B* 树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。
• B* 树的说明：

B* 树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3，而B+树的块的最低使用率为B+树的1/2。

从第1个特点我们可以看出，B* 树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高