AcWing 532. 货币系统 (完全背包求方案数 变形)

题意

在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。

为了方便，我们把货币种数为 n、面额数组为 a[1…n]的货币系统记作 (n,a)。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 x，都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]×t[i] 的和为 x。

然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。

例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9] 中，金额 1,3 就无法被表示出来。

两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。

他们希望找到一个货币系统 (m,b)，满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价，且 m 尽可能的小。

他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。

思路

由题目可以得到

①：a 中的每一个面值都可以由 b 表示

②：b 中的每一个面值也都可以用 a 表示

只有这样才能满足题目给的条件 “当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出”

由上面两个条件我们还可以得出

③：b 中的元素一定在 a 中

证明：假设 b 中有一个元素 b i不在 a 中 由①得 b i

可以被 a 表示 那么不妨设 b i  =j∗a j+ k ∗ a k(1)

又因为 a 可以被 b 表示 所以上式可以写成 b i = j ( b 1 + b 2 . . . + b j ) + k ( b 1 . . . + b k ) (2)

即 b j可以由 b 中的其他元素表示 不满足题目要求的 b最小 所以 任意b i一定在 a 中

由(1) (2) 我们又可以得到

④：b i 不能被 b 中其他的元素表示

因为b i 只有可能被比它小的元素表示 也即 b i 不能被 b 1 , b 2 , . . . b i − 1  表示

所以我们对 b 从小到大排序 求出用当前的面值可以表示出哪些金额 再判断 b i是否能被它之前的元素表示即可

如果 b i能被之前的元素表示 那么可以把 b j从 b 中去掉 否则res++

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mod 998244353
#define endl '\n'
#define int long long
using namespace std;
inline int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a%b) : a; }
inline int lowbit(int x) { return x & -x; }
typedef long long LL;
typedef pair<int, int>PII;
const int N = 25010;
int n;
int a[200];
int f[N];
void solve() {
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; ++i)scanf("%lld", &a[i]);
  sort(a + 1, a + 1 + n);
  int m = a[n];
  memset(f, 0, sizeof f);
  f[0] = 1;
  int res = 0;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    if (!f[a[i]])res++;
    for (int j = a[i]; j <= m; ++j)
      f[j] += f[j - a[i]];
  }
  cout << res << endl;
}
signed main() {
  int t; cin >> t;
  while(t--)
    solve();
  return 0;
}