1. 贝叶斯定理

1763年12月23日，Thomas Bayes的遗产受赠者R. Price牧师 在英国皇家学会宣读了贝叶斯的遗作《An essay towards solving a problem in the doctrine of chances》（《论机会学说中一个问题的求解》），其中给出了贝叶斯定理。

在这篇文章之前，人们已经能够计算“正向概率”，如12个白球和3个黑球在1个箱子中，随机取1个球，计算该球为白球的概率。

在这篇文章之前，人们已经能够计算“正向概率”，如12个白球和3个黑球在1个箱子中，随机取1个球，计算该球为白球的概率。

反过来， 如果事先并不知道袋子里面黑白球的比例，随机取到5个球（4个白球，1个黑球），估计该总体中黑球与白球的比例。这个问题，就是所谓的逆向概率问题，可以看做在总体未知的情况，已知样本数据，对总体进行估计。

1.1 贝叶斯公式

根据条件概率：

可推导出贝叶斯公式：

其中，

P ( A )：事件A AA的先验概率（prior probability）

P ( A ∣ B ) ：事件B条件下的，事件A 的后验概率（posterior probability）

P ( B )：事件B 的先验概率（prior probability）

P ( B ∣ A ) ：事件A 条件下的，事件B 的后验概率（posterior probability）

条件概率可理解为：后验概率＝先验概率 × 调整因子（标准似然度）

若P ( B ∣ A ) = P ( B )或P ( A ∣ B ) = P ( A )，则P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) ，此时事件A , B为相互独立事件，即任一事件的发生不影响另一事件的发生。

e.g1.

肺癌发病率 P ( A ) = 0.001 ； 吸烟人群占比P ( B ) = 0.4  ；根据观测，肺癌病人中有80 %吸烟 P ( B ∣ A ) = 0.8  。

若某患者吸烟，则该患者肺癌的概率为：

在该例子中，贝叶斯公式将先验概率P ( A ) 转化为了后验概率P ( A ∣ B ) ，这个过程中主要利用了观察数据P ( B ∣ A )

肺癌发病率只有P ( A ) = 0.001，但是根据观察数据发现，肺癌病人的吸烟者比率 P ( B ∣ A ) = 0.8 高于整体人群的吸烟者占比P ( B ) = 0.4，因此增强了吸烟者中肺癌发病率的信念。

1.2 全概率公式

B  1 ...B  n是随机试验S 的一组事件，满足以下两个条件：

称B 1 . . . B n 是样本空间S 的一个划分。

通过样本划分可以将复杂事件划分为若干不相容的简单事件B i  ，利用全概率公式可求得结果事件概率P ( A )

其中，P ( B i ) 为已知的每个原因事件B i的概率，P ( A ∣ B i ))表示每个原因事件对结果事件的影响程度。

1.3 贝叶斯公式推广

P(B i∣A)用来反映引起结果事件A 发生的各种原因事件B i的可能性。

**e.g.1 ** A容器中有7个红球和3个白球，B容器中1个红球和4个白球

事件A ：从A容器里拿一个球

事件B ：从B容器里拿一个球

事件R ：拿出一个球为红球

事件W ：拿出一个球为白球

从A容器里拿球的概率P ( A ) = 1/ 2 ，从B容器里拿球的概率P ( B ) = 1/ 2

（1）随机从其中一个容器里取出一个球，该球为红球的概率：

（2）随机取出一个球为红球，该红球来自A容器的概率：

同理可得，P ( B ∣ R ) = 2/ 9

2. 频率学派 v.s. 贝叶斯学派

2.1 频率学派

从客观事件本身出发，认为事件本身具有某种客观随机性，数据样本都是在这个空间里的“某个”参数值下产生的

把参数θ视作固定且未知的常数，而样本数据D 是随机的，着眼点在样本空间通过引入了极大似然（maximum likelihood）以及置信区间（confidence interval），根据数据样本计算参数值

2.2 贝叶斯学派

从“观察者”角度出发，认为概率是主观对某个事物发生的相信程度，由于“观察者”知识不完备，需要从对客观世界的观察中得到规律更新对事件的假定

把参数θ \thetaθ视作随机变量（本身也有分布），而样本数据D DD是固定的（即实际观测到的数据集），着眼点在参数空间

通常假定参数服从一个先验分布（prior distribution），然后基于观测的数据样本（证据）来计算参数的后验分布（posterior distribution）

频率学派坚持数据说话。贝叶斯学派认为数据会有偏差，先验概率可对这些噪音做到健壮。事实证明贝叶斯学派方法更为科学，胜利的关键在于先验概率实质上也是经验统计的结果（先验信息一般源于历史的经验与资料），所谓先“验”中先于的经验就是指先于样本数据。

贝叶斯方法更符合人类认识自然的规律与日常的思考方式，即我对客观世界总有一个主观的先验判断，但是这个判断会随着对真实世界的观察而修正，从而对世界永远保持开放的态度。