边缘分布 | 学习笔记

简介: 快速学习边缘分布

开发者学堂课程【人工智能必备基础:概率论与数理统计:边缘分布】学习笔记,与课程紧密联系,让用户快速学习知识。

课程地址:https://developer.aliyun.com/learning/course/545/detail/7410


边缘分布

内容介绍

一、边缘分布函数

二、离散型的边缘分布

三、例题1

四、连续型的边缘概率密度

五、例题2

 

一、边缘分布函数

由联合分布函数可以得到边缘分布函数:

FX (x)=P(X≤x)

=P(X≤x , Y < +∞)

=F(x,+∞)

image.png

image.png

FY(y)=P(Y≤y)

=P(X<+∞ ,Y≤y)

=F(+∞,y)

边缘分布函数:二维随机变量( X,Y )作为整体,有分布函数 F(x,y), 其中 ,X 和 Y都是随机变量,它们的分布函数记为: FX(x),FY(y)

称为边缘分布函数。

在分布函数 F(x,y) 中令 y→+∞, 就能得到 FX(x)

Fx(x)= P{X≤x}= P{X≤ x,Y < +∞} = F(x,+∞)

同理得:

FY(y)=P{Y ≤у}= F(+∞,y)

 

二、离散型的边缘分布

对于离散型随机变量(X,Y),分布律为

P{X=xi,Y=yj}= pij, i,j=1,2,…

X,Y 的边缘分布律为:

image.png

image.png

 

三、例题1

对一群体的吸烟及健康状况进行调查,引入随机变量

X 和 Y 如下:

image.png

根据调查结果,得 (X.Y) 的如下的联合概率分布:

image.png

(1) 试写出关于 X 和 Y 的边缘概率分布;

(2) 求 P{X =2|Y= 20} 的值。

image.png

(3) P{X =2|Y= 20}=0.25/0.315=0.794

 

四、连续型的边缘概率密度

对于连续型随机变量(X,Y),概率密度为 f(x,y)

X,Y 的边缘概率密度为:

image.png

事实上

image.png

同理:

image.png

 

五、例题2

设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度

image.png

求边缘概率密度 fx(x),fy(y)

image.png

image.png

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