正文
一、什么是跳表
我在之前在头条介绍了十分优秀的二分查找算法，但是它只能作用于有序数组上，查找起来比较方便，但是数组中插入和删除元素是比较麻烦的；那么有没有办法让二分查找也能作用于有序链表上，从而达到查找、插入和删除元素都十分的快速呢？
对于普通的有序列表来说，当然不能实现我们的目标，如下查找的时间复杂度为O(n)；
我们可以基于原始链表建立一个 索引层，比如每两个节点提取一个节点到索引层：
如此，两种数据结构我们查找元素16的比较次数分别为10次和8次，确实能提高查询速度；我们更近一步，再次建立第二级索引：
此时查找元素16比较的次数只需要比较7次即可；
如果在大数据量的有序链表中，我们建立很多层索引，使得最高层索引只有两个节点，那么就实现了类似二分查找的算法思想，此时这种数据结构就被成为跳表。
二、跳表性能分析
2.1 时间复杂度
假设有序链表总节点个数为n，我们建立索引时每两个节点提取一个索引节点；那么第一级索引共有n/2个节点；
第k级索引共有（n/2k）个节点，假设k为最高级索引，为2个节点，那么2=(n/2k)，n=2(k+1)，k=logn-1，如果原始链表也算进去的话，k=logn正好是整个数据结构的高度。
假设每一层需要遍历m个节点，那么时间复杂度就可以表示为O(mlogn)，但是推断m是常量级别的，因此可以忽略，那么整个查找过程时间复杂度就是O(logn)，竟然和二分查找是一样的高效！
2.2 空间复杂度
第一级索引需要n/2个节点，第二级需要n/22个节点，依次类推，第k级索引需要的节点个数为n/2k，这正好是一个等比数列，等比数列求和的结果是n-2，所以空间复杂度为O(n)，这是一个以空间换时间的策略；
我们可以每3个节点或者每4个节点往上提取一个索引节点，如此可以适当减少需要的额外空间，但是空间复杂度仍然为O(n)；如果有序链表存储的是大对象，那么索引节点中无需存放整个大对象，只要存储对象的指针即可，所以此时空间复杂度就显得不那么重要了；
2.3 跳表的插入和删除
跳表因为是顺序链表，所以真正插入和删除的时间复杂度都是O(1)，但是找到需要插入节点的位置或者找到待删除的节点时间复杂度为O(logn)；
跳表在删除的时候，除了需要删除原始有序链表中的节点，还需要同步删除k级索引中的全部该索引节点；
跳表在插入元素式，极端情况下会导致两个索引节点中存在大量的原始节点，时间效率极有可能会退化为单链表的O(n)，所以需要动态地平衡和更新k级索引节点；
三、跳表使用场景
Redis在存储有序集合的时候就用到了跳表+散列表的数据结构，跳表和红黑树相比，插入、删除、查找的时间复杂度相同，但是跳表在按照区间查找时明显具有效率优势，而且跳表实现起来比红黑树要简单易懂，不容易出错。
红黑树等常用数据结构在程序语言中都是封装好的，我们想用的话直接拿来用即可，比如HashMap，但是跳表却没有对应的封装好的数据结构，想用的话开发者必须自己去实现。
四、代码实现跳表Skiplist以及优化
代码来源于极客时间《数据结构和算法之美》
github地址：数据结构和算法必知必会的50个代码实现https://github.com/wangzheng0822/algo
4.1 作者王争给出的跳表实现方式
/** * 跳表的一种实现方法。 * 跳表中存储的是正整数，并且存储的是不重复的。 * */ public class SkipList { private static final float SKIPLIST_P = 0.5f; private static final int MAX_LEVEL = 16; private int levelCount = 1; private Node head = new Node(); // 带头链表 public Node find(int value) { Node p = head; for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) { while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) { p = p.forwards[i]; } } if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) { return p.forwards[0]; } else { return null; } } public void insert(int value) { int level = randomLevel(); Node newNode = new Node(); newNode.data = value; newNode.maxLevel = level; Node update[] = new Node[level]; for (int i = 0; i < level; ++i) { update[i] = head; } // record every level largest value which smaller than insert value in update[] Node p = head; for (int i = level - 1; i >= 0; --i) { while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) { p = p.forwards[i]; } update[i] = p;// use update save node in search path } // in search path node next node become new node forwords(next) for (int i = 0; i < level; ++i) { newNode.forwards[i] = update[i].forwards[i]; update[i].forwards[i] = newNode; } // update node hight if (levelCount < level) levelCount = level; } public void delete(int value) { Node[] update = new Node[levelCount]; Node p = head; for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) { while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) { p = p.forwards[i]; } update[i] = p; } if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) { for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) { if (update[i].forwards[i] != null && update[i].forwards[i].data == value) { update[i].forwards[i] = update[i].forwards[i].forwards[i]; } } } while (levelCount>1&&head.forwards[levelCount]==null){ levelCount--; } } // 理论来讲，一级索引中元素个数应该占原始数据的 50%，二级索引中元素个数占 25%，三级索引12.5% ，一直到最顶层。 // 因为这里每一层的晋升概率是 50%。对于每一个新插入的节点，都需要调用 randomLevel 生成一个合理的层数。 // 该 randomLevel 方法会随机生成 1~MAX_LEVEL 之间的数，且 ： // 50%的概率返回 1 // 25%的概率返回 2 // 12.5%的概率返回 3 ... private int randomLevel() { int level = 1; while (Math.random() < SKIPLIST_P && level < MAX_LEVEL) level += 1; return level; } public void printAll() { Node p = head; while (p.forwards[0] != null) { System.out.print(p.forwards[0] + " "); p = p.forwards[0]; } System.out.println(); } public class Node { private int data = -1; private Node forwards[] = new Node[MAX_LEVEL]; private int maxLevel = 0; @Override public String toString() { StringBuilder builder = new StringBuilder(); builder.append("{ data: "); builder.append(data); builder.append("; levels: "); builder.append(maxLevel); builder.append(" }"); return builder.toString(); } } }
4.2 作者ldb基于王争的代码给出的优化
import java.util.Random; /** * 1，跳表的一种实现方法，用于练习。跳表中存储的是正整数，并且存储的是不重复的。 * 2，本类是参考作者zheng ，自己学习，优化了添加方法 * 3，看完这个，我觉得再看ConcurrentSkipListMap 源码，会有很大收获 */ public class SkipList2 { private static final int MAX_LEVEL = 16; private int levelCount = 1; /** * 带头链表 */ private Node head = new Node(MAX_LEVEL); private Random r = new Random(); public Node find(int value) { Node p = head; // 从最大层开始查找，找到前一节点，通过--i，移动到下层再开始查找 for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) { while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) { // 找到前一节点 p = p.forwards[i]; } } if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) { return p.forwards[0]; } else { return null; } } /** * 优化了作者zheng的插入方法 * * @param value 值 */ public void insert(int value) { int level = head.forwards[0] == null ? 1 : randomLevel(); // 每次只增加一层，如果条件满足 if (level > levelCount) { level = ++levelCount; } Node newNode = new Node(level); newNode.data = value; Node update[] = new Node[level]; for (int i = 0; i < level; ++i) { update[i] = head; } Node p = head; // 从最大层开始查找，找到前一节点，通过--i，移动到下层再开始查找 for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) { while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) { // 找到前一节点 p = p.forwards[i]; } // levelCount 会 > level，所以加上判断 if (level > i) { update[i] = p; } } for (int i = 0; i < level; ++i) { newNode.forwards[i] = update[i].forwards[i]; update[i].forwards[i] = newNode; } } /** * 优化了作者zheng的插入方法2 * * @param value 值 */ public void insert2(int value) { int level = head.forwards[0] == null ? 1 : randomLevel(); // 每次只增加一层，如果条件满足 if (level > levelCount) { level = ++levelCount; } Node newNode = new Node(level); newNode.data = value; Node p = head; // 从最大层开始查找，找到前一节点，通过--i，移动到下层再开始查找 for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) { while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) { // 找到前一节点 p = p.forwards[i]; } // levelCount 会 > level，所以加上判断 if (level > i) { if (p.forwards[i] == null) { p.forwards[i] = newNode; } else { Node next = p.forwards[i]; p.forwards[i] = newNode; newNode.forwards[i] = next; } } } } /** * 作者zheng的插入方法，未优化前，优化后参见上面insert() * * @param value * @param level 0 表示随机层数，不为0，表示指定层数，指定层数 * 可以让每次打印结果不变动，这里是为了便于学习理解 */ public void insert(int value, int level) { // 随机一个层数 if (level == 0) { level = randomLevel(); } // 创建新节点 Node newNode = new Node(level); newNode.data = value; // 表示从最大层到低层，都要有节点数据 newNode.maxLevel = level; // 记录要更新的层数，表示新节点要更新到哪几层 Node update[] = new Node[level]; for (int i = 0; i < level; ++i) { update[i] = head; } /** * * 1，说明：层是从下到上的，这里最下层编号是0，最上层编号是15 * 2，这里没有从已有数据最大层（编号最大）开始找，（而是随机层的最大层）导致有些问题。 * 如果数据量为1亿，随机level=1 ，那么插入时间复杂度为O（n） */ Node p = head; for (int i = level - 1; i >= 0; --i) { while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) { p = p.forwards[i]; } // 这里update[i]表示当前层节点的前一节点，因为要找到前一节点，才好插入数据 update[i] = p; } // 将每一层节点和后面节点关联 for (int i = 0; i < level; ++i) { // 记录当前层节点后面节点指针 newNode.forwards[i] = update[i].forwards[i]; // 前一个节点的指针，指向当前节点 update[i].forwards[i] = newNode; } // 更新层高 if (levelCount < level) levelCount = level; } public void delete(int value) { Node[] update = new Node[levelCount]; Node p = head; for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) { while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) { p = p.forwards[i]; } update[i] = p; } if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) { for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) { if (update[i].forwards[i] != null && update[i].forwards[i].data == value) { update[i].forwards[i] = update[i].forwards[i].forwards[i]; } } } } /** * 随机 level 次，如果是奇数层数 +1，防止伪随机 * * @return */ private int randomLevel() { int level = 1; for (int i = 1; i < MAX_LEVEL; ++i) { if (r.nextInt() % 2 == 1) { level++; } } return level; } /** * 打印每个节点数据和最大层数 */ public void printAll() { Node p = head; while (p.forwards[0] != null) { System.out.print(p.forwards[0] + " "); p = p.forwards[0]; } System.out.println(); } /** * 打印所有数据 */ public void printAll_beautiful() { Node p = head; Node[] c = p.forwards; Node[] d = c; int maxLevel = c.length; for (int i = maxLevel - 1; i >= 0; i--) { do { System.out.print((d[i] != null ? d[i].data : null) + ":" + i + "-------"); } while (d[i] != null && (d = d[i].forwards)[i] != null); System.out.println(); d = c; } } /** * 跳表的节点，每个节点记录了当前节点数据和所在层数数据 */ public class Node { private int data = -1; /** * 表示当前节点位置的下一个节点所有层的数据，从上层切换到下层，就是数组下标-1， * forwards[3]表示当前节点在第三层的下一个节点。 */ private Node forwards[]; /** * 这个值其实可以不用，看优化insert() */ private int maxLevel = 0; public Node(int level) { forwards = new Node[level]; } @Override public String toString() { StringBuilder builder = new StringBuilder(); builder.append("{ data: "); builder.append(data); builder.append("; levels: "); builder.append(maxLevel); builder.append(" }"); return builder.toString(); } } public static void main(String[] args) { SkipList2 list = new SkipList2(); list.insert(1, 3); list.insert(2, 3); list.insert(3, 2); list.insert(4, 4); list.insert(5, 10); list.insert(6, 4); list.insert(8, 5); list.insert(7, 4); list.printAll_beautiful(); list.printAll(); /** * 结果如下： * null:15------- * null:14------- * null:13------- * null:12------- * null:11------- * null:10------- * 5:9------- * 5:8------- * 5:7------- * 5:6------- * 5:5------- * 5:4------- * 8:4------- * 4:3-------5:3-------6:3-------7:3-------8:3------- * 1:2-------2:2------- 4:2-------5:2-------6:2-------7:2-------8:2------- * 1:1-------2:1-------3:1-------4:1-------5:1-------6:1-------7:1-------8:1------- * 1:0-------2:0-------3:0-------4:0-------5:0-------6:0-------7:0-------8:0------- * { data: 1; levels: 3 } { data: 2; levels: 3 } { data: 3; levels: 2 } { data: 4; levels: 4 } * { data: 5; levels: 10 } { data: 6; levels: 4 } { data: 7; levels: 4 } { data: 8; levels: 5 } */ // 优化后insert() SkipList2 list2 = new SkipList2(); list2.insert2(1); list2.insert2(2); list2.insert2(6); list2.insert2(7); list2.insert2(8); list2.insert2(3); list2.insert2(4); list2.insert2(5); System.out.println(); list2.printAll_beautiful(); } }
