【高阶数据结构】跳表 -- 详解

简介: 【高阶数据结构】跳表 -- 详解

一、什么是跳表 —— skiplist

skiplist 本质上也是一种查找结构,用于解决算法中的查找问题,跟平衡搜索树和哈希表的价值是一样的,可以作为 key 或者 key/value 的查找模型。

skiplist 是由 William Pugh 发明的,最早出现于他在 1990 年发表的论文《Skip Lists: A Probabilistic Alternative to Balanced Trees》。

skiplist 是一个 list。实际上,它是在有序链表的基础上发展起来的。如果是一个有序的链表,查找数据的时间复杂度是 O(N)。

William Pugh 开始的优化思路:

  1. 假如我们每相邻两个节点升高一层,增加一个指针,让指针指向下下个节点。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表,但它包含的节点个数只有原来的一半。由于新增加的指针,我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了,需要比较的节点数大概只有原来的一半。
  2. 以此类推,我们可以在第二层新产生的链表上,继续为每相邻的两个节点升高一层,增加一个指针,从而产生第三层链表。
  3. skiplist 正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上,按照上面生成链表的方式,上面每一层链表的节点个数,是下面一层的节点个数的一半,这样查找过程就非常类似二分查找,使得查找的时间复杂度可以降低到 O(log n)。但是这个结构在插入删除数据的时候有很大的问题,插入或者删除一个节点之后,就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的 2:1 的对应关系。如果要维持这种对应关系,就必须把新插入的节点后面的所有节点(也包括新插入的节点)重新进行调整,这会让时间复杂度重新蜕化成 O(n)。
  4. skiplist 的设计为了避免这种问题,做了一个大胆的处理,不再严格要求对应比例关系,而是
    插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数,
    这样就好处理多了。细节过程入下图:

二、如何保证 skiplist 的效率

上面我们说到,skiplist 插入一个节点时随机出一个层数,听起来怎么这么随意,如何保证搜索时的效率呢?

这里首先要细节分析的是这个随机层数是怎么来的。一般跳表会设计一个最大层数 maxLevel 的限制,其次会设置一个多增加一层的概率 p。那么计算这个随机层数的伪代码如下图:

在 Redis 的 skiplist 实现中,这两个参数的取值为:

p = 1/4
maxLevel = 32

根据前面 randomLevel() 的伪代码,可以很容易看出,产生越高的节点层数,概率越低。定量的分析如下:

  • 节点层数至少为 1。而大于 1 的节点层数,满足一个概率分布。
  • 节点层数恰好等于 1 的概率为 1-p。
  • 节点层数大于等于 2 的概率为 p,而节点层数恰好等于 2 的概率为 p(1-p)。
  • 节点层数大于等于 3 的概率为 p^2,而节点层数恰好等于 3 的概率为 p^2*(1-p)。
  • 节点层数大于等于 4 的概率为 p^3,而节点层数恰好等于 4 的概率为 p^3*(1-p)。
  • ……

因此,一个节点的平均层数(也即包含的平均指针数目),计算如下:

现在很容易计算出:

  • 当 p=1/2 时,每个节点所包含的平均指针数目为 2。
  • 当 p=1/4 时,每个节点所包含的平均指针数目为 1.33。

跳表的平均时间复杂度为 O(logN)

可以了解学习:Redis 内部数据结构详解 —— skiplist-CSDN博客


三、skiplist 的实现

力扣对应题目链接:1206. 设计跳表 - 力扣(LeetCode)

//力扣AC代码
struct SkiplistNode
{
    int _val;
    vector<SkiplistNode*> _nextV;
 
    SkiplistNode(int val, int level)
        : _val(val)
        , _nextV(level, nullptr)
    {}
};
 
class Skiplist {
    typedef SkiplistNode Node;
public:
    Skiplist()
    {
        srand(time(0));
 
        // 头节点,层数是1
        _head = new SkiplistNode(-1, 1);
    }
    
    bool search(int target)
    {
        Node* cur = _head;
        int level = _head->_nextV.size() - 1;
        while(level >= 0)
        {
            // 目标值比下一个节点值要大 -> 向右走
            if(cur->_nextV[level] && target > cur->_nextV[level]->_val)
            {
                cur = cur->_nextV[level];
            }
            // 下一个节点为空(尾)或目标值比下一个节点值要小 -> 向下走
            else if(cur->_nextV[level] == nullptr || target < cur->_nextV[level]->_val)
            {
                level--;
            }
            else
            {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
 
    vector<Node*> FindPrevNode(int num)
  {
    Node* cur = _head;
    int level = _head->_nextV.size() - 1;
 
    // 插入位置每一层前一个节点指针
    vector<Node*> prevV(level + 1, _head);
 
    while (level >= 0)
    {
      // 目标值比下一个节点值要大 -> 向右走
      if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num)
      {
        cur = cur->_nextV[level];
      }
      // 下一个节点为空(尾)或目标值比下一个节点值要小 -> 向下走
      else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val >= num)
      {
        // 更新level层前一个
        prevV[level] = cur;
        level--;
      }
    }
    return prevV;
  }
    
    void add(int num)
    {
        // 插入位置每一层的前一个节点指针
        vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);
 
        int n = RandomLevel();
    Node* newnode = new Node(num, n);
 
    // 如果n超过当前最大的层数,那就升高一下_head的层数
    if (n > _head->_nextV.size())
    {
      _head->_nextV.resize(n, nullptr);
      prevV.resize(n, _head);
    }
 
        // 链接前后节点
    for (size_t i = 0; i < n; ++i)
    {
      newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];
      prevV[i]->_nextV[i] = newnode;
    }
    }
    
    bool erase(int num)
    {
        vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);
 
    // 第一层下一个不是val,说明val不在表中
    if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num)
    {
      return false;
    }
    else
    {
      Node* del = prevV[0]->_nextV[0];
      // del节点每一层的前后指针链接起来
      for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); i++)
      {
        prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];
      }
      delete del;
 
            // 如果删除最高层节点,把头节点的层数也降一下
      int i = _head->_nextV.size() - 1;
      while (i >= 0)
      {
        if (_head->_nextV[i] == nullptr) i--;
        else break;
      }
      _head->_nextV.resize(i + 1);
      return true;
    }
    }
 
    int RandomLevel()
    {
        size_t level = 1;
        // rand() -> [0, RAND_MAX]
        while (rand() <= RAND_MAX * _p && level < _maxLevel)
        {
            level++;
        }
        return level;
    }
 
private:
    Node* _head; // 头节点
    size_t _maxLevel = 32;
    double _p = 0.25;
};
 
/**
 * Your Skiplist object will be instantiated and called as such:
 * Skiplist* obj = new Skiplist();
 * bool param_1 = obj->search(target);
 * obj->add(num);
 * bool param_3 = obj->erase(num);
 */

了解更多,可以参考:跳表 - OI Wiki (oi-wiki.org)


四、skiplist 跟平衡搜索树和哈希表的对比

skiplist 相比平衡搜索树(AVL 树和红黑树)对比,都可以做到遍历数据有序,时间复杂度也差不多。

skiplist 的优势是:

  1. skiplist 实现简单,容易控制。而平衡树增删查改遍历都更复杂。
  2. skiplist 的额外空间消耗更低。而平衡树节点存储每个值有三叉链,平衡因子/颜色等消耗。

skiplist 中当 p=1/2 时,每个节点所包含的平均指针数目为 2。

skiplist 中当 p=1/4 时,每个节点所包含的平均指针数目为 1.33。


skiplist 相比哈希表而言,就没有那么大的优势了。相比而言:

  • 哈希表非极端场景下哈希冲突的平均时间复杂度是 O(1),比 skiplist 快。
  • 哈希表空间消耗略多一点。

skiplist 优势如下:

  1. 遍历数据有序
  2. skiplist 空间消耗略小一点,哈希表存在链接指针和表空间消耗。
  3. 哈希表扩容有性能损耗。
  4. 哈希表在极端场景下哈希冲突高,效率下降厉害,需要红黑树补足接力。


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