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用PolarDB生成“上帝的指纹”

简介: 分形法则被誉为神性法则, 因为它的公式极其简单, 但是能产生无穷无尽的自相似性. 例如通过分形公式产生的曼德勃罗集, 被成为上帝的指纹. 本文介绍了上帝指纹的生成算法, 以及用PolarDB来生成"上帝的指纹".
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背景

分形法则被誉为神性法则, 因为它的公式极其简单, 但是能产生无穷无尽的自相似性. 例如通过分形公式产生的曼德勃罗集, 被成为上帝的指纹.

PS: 如何部署PolarDB开源版, 请参考: 《如何用 PolarDB 证明巴菲特的投资理念》

1、分形公式:

z=z^2+c    
  
z可以是单数、也可以是复数、甚至可以是多维数.

2、复数运算:

(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i    
(a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i    
(a+bi) - (c+di) = (a-c)+(b-d)i

3、如何产生"上帝的指纹"?

当z的初始值固定时, 取不同的c, z的发散速度是不一样的, 例如某个c, 100次之后z就趋于无穷大, 某个c, 不管迭代多少次, z都在某个范围内跳动.

以一块白布为底图, 把c的坐标映射到这个二维白布中, 用颜色来标记该c值引起的z值发散速度, 越黑表示z值越不会被发散.

我们固定z0=0,那么对于不同的复数c,函数的迭代结果也不同。由于复数c对应平面上的点,因此我们可以用一个平面图形来表示,对于某个复数c,函数f(z)=z^2+cz0=0开始迭代是否会发散到无穷。我们同样用不同颜色来表示不同的发散速度,最后得出的就是Mandelbrot集分形图形:

先来个简单的, 训练一下c和z0固定时, 如何产生z的迭代值:

WITH RECURSIVE t(n, zr, zi, cr, ci) AS (      
    VALUES (1, 0::float8, 0::float8, 0.1::float8, 0.1::float8)      
  UNION ALL      
    SELECT n+1, zr*zr - zi*zi + cr, zr*zi + zi*zr + ci, cr, ci FROM t WHERE n < 100      
)      
SELECT n,zr,zi FROM t;
do language plpgsql $$    
declare    
  zr float8 := 0;    
  zi float8 := 0;    
  cr float8 := 0.1;    
  ci float8 := 0.1;    
  tmpr float8;    
  tmpi float8;    
begin    
  for i in 1..100 loop    
    raise notice '%, %i', zr, zi;    
    tmpr := zr*zr - zi*zi + cr;    
    tmpi := zr*zi + zi*zr + ci;    
    zr := tmpr;    
    zi := tmpi;    
  end loop;    
    raise notice '%, %i', zr, zi;    
end;    
$$;
NOTICE:  0, 0i  
NOTICE:  0.1, 0.1i  
NOTICE:  0.1, 0.12000000000000001i  
NOTICE:  0.0956, 0.12400000000000001i  
NOTICE:  0.09376336, 0.12370880000000001i  
NOTICE:  0.09348770048104961, 0.123198705499136i  
NOTICE:  0.0935620291045716, 0.12303512735871254i  
NOTICE:  0.09361621072599009, 0.12302283233364109i  
NOTICE:  0.09362937763530182, 0.12303386279170858i  
NOTICE:  0.093629128962925, 0.1230391680025096i  
NOTICE:  0.09362777692760627, 0.12304010025679593i  
NOTICE:  0.0936272943412032, 0.1230399421199872i  
...  
基本不发散, 所以这个 0.1,0.1i 的C对应复平面的坐标就用黑色的像素点表示.

把这个函数扩展到整个复数范围。对于复数z0=x+iy,取不同的x值和y值,函数迭代的结果不一样:

对于有些z0,函数值约束在某一范围内;

而对于另一些z0,函数值则发散到无穷。

由于复数对应平面上的点,因此我们可以用一个平面图形来表示,对于哪些z0函数值最终趋于无穷,对于哪些z0函数值最终不会趋于无穷。

我们用深灰色表示不会使函数值趋于无穷的z0;对于其它的z0,我们用不同的颜色来区别不同的发散速度。由于当某个时候|z|>2时,函数值一定发散,因此这里定义发散速度为:使|z|大于2的迭代次数越少,则发散速度越快。这个图形可以编程画出。

f(z)=z^2+(-0.75+0i)时的Julia集:

image

我们固定z0=0,那么对于不同的复数c,函数的迭代结果也不同。由于复数c对应平面上的点,因此我们可以用一个平面图形来表示,对于某个复数c,函数f(z)=z^2+c从z0=0开始迭代是否会发散到无穷。

我们同样用不同颜色来表示不同的发散速度,最后得出的就是Mandelbrot集分形图形(也就是上帝的指纹):

image

4、用PolarDB来生成"上帝的指纹":

do language plpgsql $$    
declare    
  zr numeric := 0.0;  -- z0r    
  zi numeric := 0.0;  -- z0i    
  tmpr numeric;    
  tmpi numeric;    
  i int;    
begin    
  <<label_x>>     
  for x in -300..300 loop  -- cr, 表示白布的x轴像素点范围是-300到300    
  <<label_y>>     
  for y in -200..200 loop  -- ci, 表示白布的y轴像素点范围是-200到200    
  <<label_i>>     
  for k in 1..200 loop  -- z的发散速度, i 表示颜色深度; 最多迭代200次, 200次就是黑色, 1次可能就接近白色.      
    tmpr := zr*zr - zi*zi + x::numeric/300.0::numeric;    
    tmpi := zr*zi + zi*zr + y::numeric/200.0::numeric;    
    zr := tmpr;    
    zi := tmpi;     
    i := k;    
    exit label_i when sqrt(zr*zr + zi*zi) > 2;    -- z的迭代次数截止于|z|>2, 因为此时z会无限发散.        
  end loop label_i ;    
  raise notice 'cr:%, ci:%, i:%', x, y, i;    
  zr := 0.0;  -- z0r    
  zi := 0.0;  -- z0i    
  end loop label_y ;    
  end loop label_x ;    
end;    
$$;

cr为x坐标,ci为y坐标,i为颜色深度:

NOTICE:  cr:-300, ci:-200, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-199, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-198, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-197, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-196, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-195, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-194, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-193, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-192, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-191, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-190, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-189, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-188, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-187, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-186, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-185, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-184, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-183, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-182, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-181, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-180, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-179, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-178, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-177, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-176, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-175, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-174, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-173, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-172, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-171, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-170, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-169, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-168, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-167, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-166, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-165, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-164, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-163, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-162, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-161, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-160, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-159, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-158, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-157, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-156, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-155, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-154, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-153, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-152, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-151, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-150, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-149, i:3    
NOTICE:  cr:-300, ci:-148, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-147, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-146, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-145, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-144, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-143, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-142, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-141, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-140, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-139, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-138, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-137, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-136, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-135, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-134, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-133, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-132, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-131, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-130, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-129, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-128, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-127, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-126, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-125, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-124, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-123, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-122, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-121, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-120, i:4    
NOTICE:  cr:-300, ci:-119, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-118, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-117, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-116, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-115, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-114, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-113, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-112, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-111, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-110, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-109, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-108, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-107, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-106, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-105, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-104, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-103, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-102, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-101, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-100, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-99, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-98, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-97, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-96, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-95, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-94, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-93, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-92, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-91, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-90, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-89, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-88, i:5    
NOTICE:  cr:-300, ci:-87, i:6    
NOTICE:  cr:-300, ci:-86, i:6    
NOTICE:  cr:-300, ci:-85, i:6    
NOTICE:  cr:-300, ci:-84, i:6    
NOTICE:  cr:-300, ci:-83, i:6    
NOTICE:  cr:-300, ci:-82, i:7    
NOTICE:  cr:-300, ci:-81, i:7    
NOTICE:  cr:-300, ci:-80, i:7    
NOTICE:  cr:-300, ci:-79, i:8    
NOTICE:  cr:-300, ci:-78, i:8    
NOTICE:  cr:-300, ci:-77, i:8    
NOTICE:  cr:-300, ci:-76, i:8    
NOTICE:  cr:-300, ci:-75, i:8    
NOTICE:  cr:-300, ci:-74, i:9    
NOTICE:  cr:-300, ci:-73, i:9    
NOTICE:  cr:-300, ci:-72, i:10    
NOTICE:  cr:-300, ci:-71, i:10    
NOTICE:  cr:-300, ci:-70, i:10    
NOTICE:  cr:-300, ci:-69, i:10    
NOTICE:  cr:-300, ci:-68, i:11    
NOTICE:  cr:-300, ci:-67, i:11    
NOTICE:  cr:-300, ci:-66, i:12    
NOTICE:  cr:-300, ci:-65, i:13    
NOTICE:  cr:-300, ci:-64, i:15    
NOTICE:  cr:-300, ci:-63, i:18    
NOTICE:  cr:-300, ci:-62, i:23    
NOTICE:  cr:-300, ci:-61, i:37    
NOTICE:  cr:-300, ci:-60, i:35    
NOTICE:  cr:-300, ci:-59, i:34    
NOTICE:  cr:-300, ci:-58, i:59    
NOTICE:  cr:-300, ci:-57, i:200    
NOTICE:  cr:-300, ci:-56, i:200    
.....

类似的: 固定c (f(z)=z^2+(-0.75+0i)), 取不同的z0值作为起点, 看z的发散速度, 绘制不同z0的二维平面图, 颜色深浅对应z的发散速度, 可以得到julia集合.

参考

http://www.matrix67.com/blog/archives/4570

http://www.matrix67.com/blog/archives/6231

https://www.cnblogs.com/anderslly/archive/2008/10/10/mandelbrot-set-by-fsharp.html

http://www.matrix67.com/blog/archives/292

https://www.eefocus.com/e/500748

分形艺术网: http://www.fxysw.com/

https://zhuanlan.zhihu.com/p/450061289

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