1610. 可见点的最大数目 : 求极角几何题

题目描述

这是 LeetCode 上的 1610. 可见点的最大数目 ，难度为 困难。

Tag : 「数学」、「几何」、「排序」、「双指针」、「滑动窗口」

给你一个点数组 points 和一个表示角度的整数 angle ，你的位置是 location，其中 location = [pos_x, pos_y]location=[posx,posy] 且 points[i] = [x_i, y_i]points[i]=[xi,yi] 都表示 X-Y 平面上的整数坐标。

最开始，你面向东方进行观测。你 不能 进行移动改变位置，但可以通过 自转 调整观测角度。换句话说，pos_xposx 和 pos_yposy 不能改变。你的视野范围的角度用 angle 表示， 这决定了你观测任意方向时可以多宽。设 d 为你逆时针自转旋转的度数，那么你的视野就是角度范围 [d - angle/2, d + angle/2][d−angle/2,d+angle/2] 所指示的那片区域。

对于每个点，如果由该点、你的位置以及从你的位置直接向东的方向形成的角度 位于你的视野中 ，那么你就可以看到它。

同一个坐标上可以有多个点。你所在的位置也可能存在一些点，但不管你的怎么旋转，总是可以看到这些点。同时，点不会阻碍你看到其他点。

返回你能看到的点的最大数目。

示例 1：

输入：points = [[2,1],[2,2],[3,3]], angle = 90, location = [1,1]
输出：3
解释：阴影区域代表你的视野。在你的视野中，所有的点都清晰可见，尽管 [2,2] 和 [3,3]在同一条直线上，你仍然可以看到 [3,3] 。
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示例 2：

输入：points = [[2,1],[2,2],[3,4],[1,1]], angle = 90, location = [1,1]
输出：4
解释：在你的视野中，所有的点都清晰可见，包括你所在位置的那个点。
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示例 3：

输入：points = [[1,0],[2,1]], angle = 13, location = [1,1]
输出：1
解释：如图所示，你只能看到两点之一。
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提示：

• 1 <= points.length <= 10^51<=points.length<=105
• points[i].length == 2points[i].length==2
• location.length == 2location.length==2
• 0 <= angle < 3600<=angle<360
• 0 <= posx, posy, xi, yi <= 1000<=posx,posy,xi,yi<=100

数学

这是一道思维难度不大，但细节繁多的题目。

题目要我们旋转出一个角度为 angleangle 的、可无限延伸的覆盖面，使得该覆盖面所能覆盖 pointspoints 中的点最多。

我们所在的位置为 location = (x,y)location=(x,y)，我们可以将 (x,y)(x,y) 作为「极点」，求所有 points[i]points[i] 的「极角」。

令 points[i] =(a,b)points[i]=(a,b)，与极点关系 dx = a - x;dy = b - ydx=a−x;dy=b−y。

求极角的方式有两种：

1. 使用 atan(\frac{dy}{dx})atan(dxdy)：值域范围为 [-90°,90°]，需要对 dxdx 与 dydy 进行象限讨论，从而将值域范围转化为我们希望的 [0°,360°]，同时需要注意 dx = 0dx=0 的边界情况；
   
2. 使用 atan2(dy, dx)atan2(dy,dx)：值域范围为 [-180°,180°]，与我们期望的 [0°,360°] 相差一个固定的值，可进行统一转换，也可以直接使用。
   

得到夹角数组 listlist 后，对其进行排序，问题初步转换为：在夹角数组中找到连续一段 [i, j][i,j]，使得 list[i]list[i] 和 list[j]list[j] 的角度差不超过 angleangle。

但直接在原数组 listlist 操作，会漏掉夹角横跨一四象限的情况：

因此，另外一个细节是，在求连续段长度时，先对夹角数组进行拷贝拼接，并对拼接部分增加偏移量（确保数组仍具有单调性）。

具体的，设夹角数组长度为 nn，此时令 list[n + i] = list[i] + 2 * PIlist[n+i]=list[i]+2∗PI，从而将问题彻底转换为求连续段问题。

求解最长合法连续段 [i,j][i,j] 可用「双指针」实现「滑动窗口」来做。

一些细节：题目规定了与 locationlocation 重合的点在任意角度都能看到，因此我们需要对这些点进行特殊处理，

代码：

class Solution {
    public int visiblePoints(List<List<Integer>> points, int angle, List<Integer> location) {
        int x = location.get(0), y = location.get(1);
        List<Double> list = new ArrayList<>();
        int cnt = 0;
        double pi = Math.PI, t = angle * pi / 180;
        for (List<Integer> p : points) {
            int a = p.get(0), b = p.get(1);
            if (a == x && b == y && ++cnt >= 0) continue;
            list.add(Math.atan2(b - y, a - x) + pi);
        }
        Collections.sort(list);
        int n = list.size(), max = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) list.add(list.get(i) + 2 * pi);
        for (int i = 0, j = 0; j < 2 * n; j++) {
            while (i < j && list.get(j) - list.get(i) > t) i++;
            max = Math.max(max, j - i + 1);
        }
        return cnt + max;
    }
}
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• 时间复杂度：令 nn 为 points 数组的长度，预处理出 points 的所有角度复杂度为 O(n)O(n)；对所有角度进行排序的复杂度为 O(n\log{n})O(nlogn)；使用双指针实现滑动窗口得出最大合法子数组的复杂度为 O(n)O(n)；整体复杂度为 O(n\log{n})O(nlogn)
• 空间复杂度：O(n)O(n)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1610 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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