[NOIP2001 普及组] 数的计算

题目描述

给出自然数 $n$，要求按如下方式构造数列：

1. 只有一个数字 $n$ 的数列是一个合法的数列。
2. 在一个合法的数列的末尾加入一个自然数，但是这个自然数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。

请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 $a, b$ 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 $i \leq |a|$，使得 $a_i \neq b_i$。

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 $n$。

输出格式

输出一行一个整数，表示合法的数列个数。

样例 #1

样例输入 #1

6

样例输出 #1

6

提示

样例 1 解释

满足条件的数列为：

• $6$
• $6, 1$
• $6, 2$
• $6, 3$
• $6, 2, 1$
• $6, 3, 1$

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1 \leq n \leq 10^3$。

说明

本题数据来源是 NOIP 2001 普及组第一题，但是原题的题面描述和数据不符，故对题面进行了修改，使之符合数据。原题面如下，谨供参考：

我们要求找出具有下列性质数的个数（包含输入的正整数 $n$）。

先输入一个正整数 $n$（$n \le 1000$），然后对此正整数按照如下方法进行处理：

1. 不作任何处理；
2. 在它的左边拼接一个正整数，但该正整数不能超过原数，或者是上一个被拼接的数的一半；
3. 加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加正整数为止。

思路

a[1] = 1;
a[2] = 2; a[3] = 2;
a[4] = 4; a[5] = 4;
a[6] = 6; a[7] = 6;

易知
当i为奇数：a[i] = a[i - 1]
当i为偶数：a[i] = a[i - 1] + a[i / 2]

AC代码

#include <iostream>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int maxn = 100005;

int n;
int a[maxn];


int main(){
   
    a[1] = 1;
    cin >> n;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
   
        a[i] = a[i - 1];
        if(i % 2){
   
            continue;
        }
        a[i] += a[i / 2];
        // cout << i << " " << a[i] << endl;
    }
    cout << a[n] << endl;
}