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Stan是一种用于指定统计模型的概率编程语言。Stan通过马尔可夫链蒙特卡罗方法（例如No-U-Turn采样器，一种汉密尔顿蒙特卡洛采样的自适应形式）为连续变量模型提供了完整的贝叶斯推断。

可以通过R使用rstan 包来调用Stan，也可以通过Python使用 pystan 包。这两个接口都支持基于采样和基于优化的推断，并带有诊断和后验分析。

在本文中，简要展示了Stan的主要特性。还显示了两个示例：第一个示例与简单的伯努利模型相关，第二个示例与基于常微分方程的Lotka-Volterra模型有关。

什么是Stan？

Stan是命令式概率编程语言。
Stan程序定义了概率模型。
它声明数据和（受约束的）参数变量。
它定义了对数后验。
Stan推理：使模型拟合数据并做出预测。
它可以使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）进行完整的贝叶斯推断。
使用变分贝叶斯（VB）进行近似贝叶斯推断。
最大似然估计（MLE）用于惩罚最大似然估计。

Stan计算什么？

得出后验分布 。
MCMC采样。
绘制，其中每个绘制都按后验概率的边缘分布。
使用直方图，核密度估计等进行绘图

点击标题查阅往期内容

MCMC的rstan贝叶斯回归模型和标准线性回归模型比较

安装 `rstan`

要在R中运行Stan，必须安装 rstan C ++编译器。在Windows上， Rtools 是必需的。

最后，安装 rstan：

install.packages(rstan)

Stan中的基本语法

定义模型

Stan模型由六个程序块定义：

数据（_必填_）。
转换后的数据。
参数（_必填_）。
转换后的参数。
模型（_必填_）。
生成的数量。

数据块读出的外部信息。

data {
  int N;
  int x\[N\];
  int offset;
}

变换后的数据 块允许数据的预处理。

transformed data {
  int y\[N\];
  for (n in 1:N)
    y\[n\] = x\[n\] - offset;
}

参数块定义了采样的空间。

parameters {
  real<lower=0> lambda1;
  real<lower=0> lambda2;
}

变换参数 块定义计算后验之前的参数处理。

transformed parameters {
  real<lower=0> lambda;
  lambda = lambda1 + lambda2;
}

在模型块中，我们定义后验分布。

model {
  y ~ poisson(lambda);
  lambda1 ~ cauchy(0, 2.5);
  lambda2 ~ cauchy(0, 2.5);
}

最后， 生成的数量 块允许进行后处理。

generated quantities {
  int x_predict;
  x\_predict = poisson\_rng(lambda) + offset;
}

类型

Stan有两种原始数据类型， 并且两者都是有界的。

int 是整数类型。
real 是浮点类型。

int<lower=1> N;real<upper=5> alpha;real<lower=-1,upper=1> beta;real gamma;real<upper=gamma> zeta;

实数扩展到线性代数类型。

vector\[10\] a; // 列向量matrix\[10, 1\] b;row_vector\[10\] c; // 行向量matrix\[1, 10\] d;

整数，实数，向量和矩阵的数组均可用。

real a\[10\];
vector\[10\] b;
matrix\[10, 10\] c;

Stan还实现了各种约束类型。

simplex\[5\] theta;        // sum(theta) = 1ordered\[5\] o;            // o\[1\] < ... < o\[5\]positive_ordered\[5\] p;corr_matrix\[5\] C;        // 对称和cov_matrix\[5\] Sigma;     // 正定的

关于Stan的更多信息

所有典型的判断和循环语句也都可用。

if/then/elsefor (i in 1:I)while (i < I)

有两种修改后验的方法。

y ~ normal(0, 1);target += normal_lpdf(y | 0, 1);# 新版本的Stan中已弃用：increment\_log\_posterior(log_normal(y, 0, 1))

而且许多采样语句都是 _矢量化的_。

parameters {
  real mu\[N\];
  real<lower=0> sigma\[N\];
}model {
  // for (n in 1:N)  // y\[n\] ~ normal(mu\[n\], sigma\[n\]);  y ~ normal(mu, sigma);  // 向量化版本}

贝叶斯方法

概率是 认知的。例如， 约翰·斯图亚特·米尔 （_John Stuart Mill）_说：

事件的概率不是事件本身，而是我们或其他人期望发生的情况的程度。每个事件本身都是确定的，不是可能的；如果我们全部了解，我们应该或者肯定地知道它会发生，或者它不会。

对我们来说，概率表示对它发生的期望程度。

概率可以量化不确定性。

Stan的贝叶斯示例：重复试验模型

我们解决一个小例子，其中的目标是给定从伯努利分布中抽取的随机样本，以估计缺失参数的后验分布（成功的机会）。

步骤1：问题定义

在此示例中，我们将考虑以下结构：

数据：

，试用次数。

，即试验_n的_结果（已知的建模数据）。

参数：

先验分布

概率

后验分布

步骤2：Stan

我们创建Stan程序，我们将从R中调用它。

data {
  int<lower=0> N;               // 试验次数  int<lower=0, upper=1> y\[N\];   // 试验成功}model {
  theta ~ uniform(0, 1);        // 先验  y ~ bernoulli(theta);         // 似然}

步骤3：数据

在这种情况下，我们将使用示例随机模拟一个随机样本，而不是使用给定的数据集。

# 生成数据y = rbinom(N, 1, 0.3)y
##  \[1\] 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
根据数据计算 _MLE_作为样本均值：
## \[1\] 0.25

步骤4：`rstan`使用贝叶斯后验估计

最后一步是使用R中的Stan获得我们的估算值。

## 
## SAMPLING FOR MODEL '6dcfbccbf2f063595ccc9b93f383e221' NOW (CHAIN 1).
## Chain 1: 
## Chain 1: Gradient evaluation took 7e-06 seconds
## Chain 1: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 0.07 seconds.
## Chain 1: Adjust your expectations accordingly!
## Chain 1: 
## Chain 1: 
## Chain 1: Iteration:    1 / 5000 \[  0%\]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration:  500 / 5000 \[ 10%\]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 1000 / 5000 \[ 20%\]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 1500 / 5000 \[ 30%\]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 2000 / 5000 \[ 40%\]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 2500 / 5000 \[ 50%\]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 2501 / 5000 \[ 50%\]  (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 3000 / 5000 \[ 60%\]  (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 3500 / 5000 \[ 70%\]  (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 4000 / 5000 \[ 80%\]  (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 4500 / 5000 \[ 90%\]  (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 5000 / 5000 \[100%\]  (Sampling)
## Chain 1: 
## Chain 1:  Elapsed Time: 0.012914 seconds (Warm-up)
## Chain 1:                0.013376 seconds (Sampling)
## Chain 1:                0.02629 seconds (Total)
## Chain 1: 
...
## SAMPLING FOR MODEL '6dcfbccbf2f063595ccc9b93f383e221' NOW (CHAIN 4).
## Chain 4: 
## Chain 4: Gradient evaluation took 3e-06 seconds
## Chain 4: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 0.03 seconds.
## Chain 4: Adjust your expectations accordingly!
## Chain 4: 
## Chain 4: 
## Chain 4: Iteration:    1 / 5000 \[  0%\]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration:  500 / 5000 \[ 10%\]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 1000 / 5000 \[ 20%\]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 1500 / 5000 \[ 30%\]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 2000 / 5000 \[ 40%\]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 2500 / 5000 \[ 50%\]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 2501 / 5000 \[ 50%\]  (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 3000 / 5000 \[ 60%\]  (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 3500 / 5000 \[ 70%\]  (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 4000 / 5000 \[ 80%\]  (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 4500 / 5000 \[ 90%\]  (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 5000 / 5000 \[100%\]  (Sampling)
## Chain 4: 
## Chain 4:  Elapsed Time: 0.012823 seconds (Warm-up)
## Chain 4:                0.014169 seconds (Sampling)
## Chain 4:                0.026992 seconds (Total)
## Chain 4:
## Inference for Stan model: 6dcfbccbf2f063595ccc9b93f383e221.
## 4 chains, each with iter=5000; warmup=2500; thin=1; 
## post-warmup draws per chain=2500, total post-warmup draws=10000.## 
##         mean se\_mean   sd    10%    90% n\_eff Rhat
## theta   0.27    0.00 0.09   0.16   0.39  3821    1## lp__  -13.40    0.01 0.73 -14.25 -12.90  3998    1##
# 提取后验抽样# 计算后均值（估计）mean(theta_draws)
## \[1\] 0.2715866
# 计算后验区间
##       10%       90% 
## 0.1569165 0.3934832
 ggplot(theta\_draws\_df, aes(x=theta)) +
  geom_histogram(bins=20, color="gray")

RStan：MAP，MLE

Stan的估算优化；两种观点：

_最大后验_估计_(MAP)_。
_最大_似然估计（_MLE_）。

optimizing(model, data=c("N", "y"))
## $par
## theta 
##   0.4
## 
## $value
## \[1\] -3.4## 
## $return_code
## \[1\] 0

种群竞争模型 ---Lotka-Volterra模型

洛特卡（Lotka，1925）和沃尔泰拉（Volterra，1926）制定了参数化微分方程，描述了食肉动物和猎物的竞争种群。
完整的贝叶斯推断可用于估计未来（或过去）的种群数量。
Stan用于对统计模型进行编码并执行完整的贝叶斯推理，以解决从噪声数据中推断参数的逆问题。

在此示例中，我们希望根据公司每年收集的毛皮数量，将模型拟合到1900年至1920年之间各自种群的加拿大猫科食肉动物和野兔猎物。

数学模型

我们表示U（t）和V（t）作为猎物和捕食者种群数量分别。与它们相关的微分方程为：

这里：

α：猎物增长速度。
β：捕食引起的猎物减少速度。
γ：自然的捕食者减少速度。
δ：捕食者从捕食中增长速度。

stan中的Lotka-Volterra

real\[\] dz_dt(data real t,       // 时间  real\[\] z,                     // 系统状态  real\[\] theta,                 // 参数  data real\[\] x_r,              // 数值数据  data int\[\] x_i)               // 整数数据{
  real u = z\[1\];                // 提取状态  real v = z\[2\];

观察到已知变量：

：表示在时间的物种数量

必须推断未知变量）：

初始状态：：k的初始物种数量。

后续状态：在时间t的物种数量k。

参量。

假设误差是成比例的（而不是相加的）：

等效：

与

建立模型

已知常数和观测数据的变量。

data {
  int<lower = 0> N;       // 数量测量  real ts\[N\];             // 测量次数>0  real y0\[2\];             // 初始数量  real<lower=0> y\[N,2\];   // 后续数量}
未知参数的变量。
parameters {
  real<lower=0> theta\[4\];    // alpha, beta, gamma, delta  real<lower=0> z0\[2\];       // 原始种群  real<lower=0> sigma\[2\];    // 预测误差}
先验分布和概率。
model {
  // 先验  sigma ~ lognormal(0, 0.5);
  theta\[{1, 3}\] ~ normal(1, 0.5);
  // 似然（对数正态）  for (k in 1:2) {
    y0\[k\] ~ lognormal(log(z0\[k\]), sigma\[k\]);

我们必须为预测的总体定义变量：

初始种群（z0）。
初始时间（0.0），时间（ts）。
参数（theta）。
最大迭代次数（1e3）。

Lotka-Volterra参数估计
print(fit, c("theta", "sigma"), probs=c(0.1, 0.5, 0.9))
获得结果：
               mean  se\_mean   sd  10%  50%  90%  n\_eff  Rhat
## theta\[1\]    0.55    0     0.07 0.46 0.54 0.64   1168     1## theta\[2\]    0.03    0     0.00 0.02 0.03 0.03   1305     1## theta\[3\]    0.80    0     0.10 0.68 0.80 0.94   1117     1## theta\[4\]    0.02    0     0.00 0.02 0.02 0.03   1230     1## sigma\[1\]    0.29    0     0.05 0.23 0.28 0.36   2673     1## sigma\[2\]    0.29    0     0.06 0.23 0.29 0.37   2821     1

分析所得结果：

Rhat接近1表示收敛；n_eff是有效样本大小。
10％，后验分位数；例如
后验均值是贝叶斯点估计：α=0.55。
后验平均估计的标准误为0。
α的后验标准偏差为0.07。

R语言RStan贝叶斯示例：重复试验模型和种群竞争模型Lotka Volterra

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什么是Stan？

Stan计算什么？

安装 `rstan`

Stan中的基本语法

定义模型

类型

关于Stan的更多信息

贝叶斯方法

Stan的贝叶斯示例：重复试验模型

步骤1：问题定义

步骤2：Stan

步骤3：数据

步骤4：`rstan`使用贝叶斯后验估计

RStan：MAP，MLE

种群竞争模型 ---Lotka-Volterra模型

数学模型

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