😎前言
二分查找也称折半查找（Binary Search），它是一种效率较高的查找方法。但是，折半查找要求线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列。
查找过程：
首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。
算法要求：
1.必须采用顺序存储结构。
2.必须按关键字大小有序排列。
比较次数：
计算公式：
当顺序表有n个关键字时：
查找失败时，至少比较a次关键字；
查找成功时，最多比较关键字次数是b。
注意：a,b,n均为正整数。
算法复杂度：
二分查找的基本思想是将n个元素分成大致相等的两部分，取a[n/2]与x做比较，如果x=a[n/2],则找到x,算法中止；如果x<a[n/2],则只要在数组a的左半部分继续搜索x,如果x>a[n/2],则只要在数组a的右半部搜索x.
时间复杂度即是while循环的次数。
总共有n个元素，
渐渐跟下去就是n,n/2,n/4,…n/2^k（接下来操作元素的剩余个数），其中k就是循环的次数
由于你n/2^k取整后>=1
即令n/2^k=1
可得k=log2n,（是以2为底，n的对数）
所以时间复杂度可以表示O(h)=O(log2n)
🎋二分查找
🚩题目描述：
给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
- 示例 1:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4 - 示例 2:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1
class Solution { public int search(int[] nums, int target) { } }
🚩算法流程：
- 定义 left ， right 指针，分别指向数组的左右区间。
- 找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：
- arr[mid] == target 说明正好找到，返回 mid 的值；
- arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是⼤于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找，即让 right = mid -1 ，然后重复 2 过程；
- arr[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是⼩于 target 的，因此舍去左边区间，在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找，即让 left = mid +1 ，然后重复 2 过程；
- 当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1 。
🚩代码实现：
class Solution { public int search(int[] nums, int target) { // 初始化 left 与 right 指针 int left = 0; int right = nums.length - 1; // 由于两个指针相交时，当前元素还未判断，因此需要取等号 while (left <= right) { // 先找到区间的中间元素 int mid = left + (right - left) / 2; // 分三种情况讨论 if (nums[mid] == target) { return mid; } else if (nums[mid] > target) { right = mid - 1; } else { left = mid + 1; } } // 如果程序⾛到这⾥，说明没有找到⽬标值，返回 -1 return -1; } }
🌴在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
🚩题目描述
给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。
- 示例 1：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4] - 示例 2：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1] - 示例 3：
输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]
class Solution { public int[] searchRange(int[] nums, int target) { } }
🚩算法思路：
⽤的还是⼆分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间⼀分为⼆，然后舍去其中⼀个区间，然后再另⼀个区间内查找；
⽅便叙述，⽤ x 表⽰该元素， resLeft 表⽰左边界， resRight 表⽰右边界。
📌寻找左边界思路：
寻找左边界：
- 我们注意到以左边界划分的两个区间的特点：
左边区间 [left, resLeft - 1] 都是⼩于 x 的；
右边区间（包括左边界） [resLeft, right] 都是⼤于等于 x 的；
因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：
- 当我们的 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候，也就是 arr[mid] <target 。说明 [left, mid] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1 的位置，继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界；
- 当 mid 落在 [resLeft， right] 的区间的时候，也就是 arr[mid] >= target 。说明 [mid + 1, right] （因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界
由此，就可以通过⼆分，来快速寻找左边界；
注意：这⾥找中间元素需要向下取整。
因为后续移动左右指针的时候：
- 左指针： left = mid + 1 ，是会向后移动的，因此区间是会缩⼩的；
- 右指针： right = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1 ，right == 2 ， mid == 2 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷⼊死循环）。因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整
📌寻找右边界思路：
寻右左边界：
- ⽤ resRight 表⽰右边界；
- 我们注意到右边界的特点：
▪ 左边区间（包括右边界） [left, resRight] 都是⼩于等于 x 的；
▪ 右边区间 [resRight+ 1, right] 都是⼤于 x 的；
因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：
- 当我们的 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候，说明 [left, mid - 1]（ mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果）都是可以舍去的，此时更新left 到 mid 的位置；
- 当 mid 落在 [resRight+ 1, right] 的区间的时候，说明 [mid, right] 内的元素
是可以舍去的，此时更新 right 到 mid - 1 的位置；
由此，就可以通过⼆分，来快速寻找右边界；
注意：这⾥找中间元素需要向上取整。
因为后续移动左右指针的时候：
- 左指针： left = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向下取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1， right == 2，mid == 1 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷⼊死循环）。
- 右指针： right = mid - 1 ，是会向前移动的，因此区间是会缩⼩的；
因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整
🚩代码实现
class Solution { public int[] searchRange(int[] nums, int target) { int[] ret = new int[2]; ret[0] = ret[1] = -1; // 处理边界情况 if(nums.length == 0) { return ret; } // 1. ⼆分左端点 int left = 0; int right = nums.length - 1; while(left < right) { int mid = left + (right - left) / 2; if(nums[mid] < target) { left = mid + 1; } else { right = mid; } } // 判断是否有结果 if(nums[left] != target) { return ret; } else { ret[0] = right; } // 2. ⼆分右端点 left = 0; right = nums.length - 1; while(left < right) { int mid = left + (right - left + 1) / 2; if(nums[mid] <= target) { left = mid; }else { right = mid - 1; } } ret[1] = left; return ret; } }
🌳搜索插入位置
🚩题目描述
给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。
请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。
- 示例 1:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2 - 示例 2:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1 - 示例 3:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4
class Solution { public int searchInsert(int[] nums, int target) { } }
🚩算法思路：
1、分析插⼊位置左右两侧区间上元素的特点：
设插⼊位置的坐标为 index ，根据插⼊位置的特点可以知道：
- [left, index - 1] 内的所有元素均是⼩于 target 的；
- [index, right] 内的所有元素均是⼤于等于 target 的。
2、设 left 为本轮查询的左边界， right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信
息，分析下⼀轮查询的区间：
- 当 nums[mid] >= target 时，说明 mid 落在了 [index, right] 区间上，mid 左边包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [left,mid] 上。因此，更新 right 到 mid 位置，继续查找。
- 当 nums[mid] < target 时，说明 mid 落在了 [left, index - 1] 区间上，mid 右边但不包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [mid + 1, right] 上。因此，更新 left 到 mid + 1 的位置，继续查找。
3、 直到我们的查找区间的⻓度变为 1 ，也就是left == right 的时候， left 或者
right 所在的位置就是我们要找的结果
🚩代码实现：
public int searchInsert(int[] nums, int target) { int left = 0; int right = nums.length - 1; while (left < right) { int mid = left + (right - left) / 2; if (nums[mid] < target) { left = mid + 1; } else { right = mid; } } // 特判⼀下第三种情况 if (nums[right] < target) { return right + 1; } return right; }
🎄x的平方根
🚩题目描述
给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。
由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。
注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。
- 示例 1：
输入：x = 4
输出：2 - 示例 2：
输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
class Solution { public int mySqrt(int x) { } }
🚩算法思路：
设 x 的平⽅根的最终结果为 index ：
分析 index 左右两次数据的特点：
- [0, index] 之间的元素，平⽅之后都是⼩于等于 x 的；
- [index + 1, x] 之间的元素，平⽅之后都是⼤于 x 的。
因此可以使⽤⼆分查找算法。
🚩代码实现：
class Solution { public int mySqrt(int x) { long left = 1; long right = x; if(x < 1) { return 0; } while(left < right) { long mid = left + (right - left + 1)/2; if(mid*mid <= x) { left = mid; } else { right = mid - 1; } } return (int)left; } }
⭕总结
关于《【算法优选】 二分查找专题——壹》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！
