总结
0、题目描述
121. 买卖股票的最佳时机 只买卖一次
122. 买卖股票的最佳时机 II 可以买卖多次
123. 买卖股票的最佳时机 III 最多买卖 2 次
188. 买卖股票的最佳时机 IV 最多买卖 k 次
309. 最佳买卖股票时机含冷冻期 可以买卖多次，含冷冻期
714. 买卖股票的最佳时机含手续费 可以多次买卖，含手续费
1、dp数组的含义
- dp数组的含义基本上都是，在第 i 天，状态 j下，手中现金的最大值为dp[i][j]
- 所以针对买卖股票问题，先画一个类似以下这样的表格，分清有几种状态
2、递推公式
递推公式基本上都是从前一天推后一天的内容
从这点来看的话，其中就指定最多买卖 k 次那道题目比较复杂，是对最多买卖两次的延申
先分析有几种状态，再分析达到第 i 天的每种状态有哪些情况，根据情况写出递推公式
3、初始化
初始化在 第 0 天 下，各个状态下手中现金的最大值
其实在第 0 天，主要分成两种情况就可以
要么是持有，那就-prices[0]
要么就是未持有，那就是0
如果是没有操作，也是 0
4、遍历方式
因为买卖股票的问题，都是从通过前一天的情况推导当天的情况，所以都是从前向后遍历
5、获取结果
未持有股票状态下比持有股票状态下的金钱多
买卖次数多比买卖次数少的金钱多
其中含冷冻期这道题目比较特殊，要对三种未持有股票状态进行比较
121.买卖股票的最佳时机
题目链接：力扣
问题描述
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
特点分析
- 只能买卖一次
- 可以暴力解法，超时
- 可以贪心算法，最右侧最大值 - 最左侧最小值
- 可以动态规划，
动态规划思路
dp[i][j] 表示在第 i 天，如果是状态 j , 手中的现金最大值为 dp[i][j]，默认一开始手中的现金为0
状态分析
第 i 天有两种状态：持有股票、未持有股票
第 i 天持有股票
成为这种状态，要么前一天已经持有股票，要么今天才持有股票（新买的），选取其中的最大值
情况一：前一天已经持有股票，dp[i][0] = dp[i - 1][0]
情况二：前一天未持有股票，要让今天持有股票，那就今天买，dp[i][0] = -prices[i]
第 i 天未持有股票
成为这种状态，要么是前一天已经是未持有股票状态，要么今天才未持有状态（刚卖的），选取其中的最大值
情况一：前一天已经是未持有状态，dp[i][1] = dp[i - 1][1]
情况二：前一天还是持有状态，要让今天是未持有状态，那就今天卖，那前一天肯定是持有状态，dp[i][1] = dp[i][0] + prices[i]
初始化
通过上面的状态分析，就可以获得dp数组的含义、递推公式
因为都是通过前一天获得的，所以就应该初始化第0天的状态
如果第 0 天持有股票，那肯定是买了，肯定花钱了，那就是 0 - prices[0]。因为手中一开始的钱就只有 0
如果第 0 天持有股票，那还没有花钱，那就是 0
获取结果
结果就是表中最后一天未持有股票时手中的最大现金数
因为不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！
122.买卖股票的最佳时机Ⅱ
题目链接：力扣
问题描述
给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。
在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。
返回 你能获得的 最大 利润 。
特点分析
- 只能持有一只股票，可以买卖多次
- 可以贪心算法，只要能获利进行买卖
- 可以动态规划
动态规划思路
dp[i][j] 表示在第 i 天，如果是状态 j , 手中的现金最大值为 dp[i][j]，默认一开始手中的现金为0
这道题目，第 i 天有两种状态：持有股票、未持有股票，和 121. 买卖股票的最佳时机 是一样的，不一样的是递推公式
先看，只可以买卖一次的递推公式
只买卖一次，有两种状态
第 i 天持有股票
情况一：前一天已经持有股票，dp[i][0] = dp[i - 1][0]
情况二：前一天未持有股票股票，dp[i][0] = -prices[i]
第 i 天未持有股票
情况一：前一天已经是未持有状态，dp[i][1] = dp[i - 1][1]
情况二：前一天还是持有股票状态，dp[i][1] = dp[i][0] + prices[i]
再看，可以买卖多次的递推公式
可以买卖多次，有两种状态
第 i 天持有股票
情况一：前一天已经持有股票，dp[i][0] = dp[i - 1][0]
情况二：前一天未持有股票股票，dp[i][0] = dp[i - 1][1] - prices[i]
第 i 天未持有股票
情况一：前一天已经是未持有状态，dp[i][1] = dp[i - 1][1]
情况二：前一天还是持有股票状态，dp[i][1] = dp[i][0] + prices[i]
这里和121. 买卖股票的最佳时机唯一不同的地方，就是推导dp[i][0]的时候，第i天买入股票的情况。
因为买卖股票的时候，可能已经出现前面获得利润的情况，不能从 0 开始买股票了，而是用前一天未持有股票的时候有的钱来买，这样才能将将前面的结果也进行累加
123.买卖股票的最佳时机III
题目链接：力扣
问题描述
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
特点分析
- 最多可以完成两笔交易
- 可以动态规划
动态规划思路
dp[i][j] 表示在第 i 天，如果是状态 j , 手中的现金最大值为 dp[i][j]，默认一开始手中的现金为0
状态分析
第 i 天有五种状态：但是也是主要分为持有股票和未持有股票，还有一个状态是没有操作
其中没有操作状态其实只用了一次，可以忽略，但是从下标 1 开始分析，更加方便，这样做最多 k 次买卖的时候也更加方便
没有操作
第一次买入（持有）
第一次卖出（未持有）
第二次买入（持有）
第二次卖出（未持有）
第 i 天是第一次买入
成为这种状态，要么第 i 天之前就已经第一次买入过了，要么第i 天新买的，选取其中的最大值
情况一：前面已经买好了，dp[i][0] = dp[i - 1][0]
情况二：第一次新买的，第i天买入股票了，那么dp[i][0] = - prices[i]
第 i 天是第一次卖出
成为这种状态，要么第 i 天之前已经第一次卖出过了，要么第 i 天新买的
情况一：前面已经卖过了，dp[i][1] = dp[i - 1][1]
情况二：今天刚刚卖出，这种状态只能由第一次买入状态得到，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] + prices[i],
第 i 天是第二次买入
成为这种状态，要么第 i 天之前已经第二次买入过了，要么第 i 天就是第二次买入
情况一：前面已经买好了，dp[i][2] = dp[i - 1][2]
情况二：今天刚买，那前天有肯定是第一次卖出的状态，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] - prices[i]
第 i 天是第二次卖出
成为这种状态，要么第 i 天之前已经第二次卖出过了，要么第 i 天就是第二次卖出
情况一：前面已经第二次卖过了，dp[i][3] = dp[i - 1][3]
情况二：今天刚刚卖出，这种状态只能由第一次买入状态得到，那么dp[i][2] = dp[i - 1][2] + prices[i]
初始化
通过上面的状态分析，就可以获得dp数组的含义、递推公式
因为都是通过前一天获得的，所以就应该初始化第0天的状态
如果第 0 天持有股票，那肯定是买了，肯定花钱了，那就是 0 - prices[0]。因为手中一开始的钱就只有 0
如果第 0 天持有股票，那还没有花钱，那就是 0
获取结果
结果就是表中最后一天 第二次卖出状态下 手中的最大现金数
因为不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！
第二次卖出肯定比其他状态下的金钱多
