一、计算机系统概论

看书看书，都是文字，（想拿高分）多了解

二、数据的表示和运算

各种进制及其转换

各种进制的常见书写方式

二进制优越性

①可使用两个稳定状态的物理器件表示

②0，1 正好对应逻辑值 假、真。方便实现逻辑运算

③可很方便地使用逻辑门电路实现算术运算

任意进制→十进制

采用r 进制计数法每个位数的基数×该进制的位权次幂依次相加就可以啦

r 进制计数法

基数：每个数码位所用到的不同符号的个数，r 进制的基数为 r

举例

大家也可以记住常见的二进制各个位的十进制值（右击保存图片收藏）

二进制↔八进制、十六进制

二进制 —> 八进制

3位一组，毎组转换成对应的八进制符号

八进制—> 二进制

每位八进制对应的3位二进制

二进制 —> 十六进制

4位一组，毎组转换成对应的十六进制符号

二进制 —> 十六进制

4位一组，毎组转换成对应的十六进制符号

十进制→任意进制

除 x 取余倒排法(x 代表进制数)

完整内容可以参考这个回答：

https://zhidao.baidu.com/question/374587905766222524.html

如：75.3 小数部分=0.3

那么我们转化成二进制就是这样

• 整数部分

• - 小数部分

十进制→二进制（拼凑法）

用这个图直接凑

真值和机器数

• 真值：符合人类习惯的数字

• 机器数：数字实际存到机器里的形式，正负号需要被“数字化”

例如下面两个数

定点数与浮点数的举例

无符号数

概念

无符号数：整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值。

例如：

表示范围

8位二进制数有 2^8 种不同的状态

n位的无符号数表示范围为：0 ～ 2^n -1

有符号数

有符号数的表示

例如

但是这样小数点的位置会不固定，所以就有了有符号数的定点表示的规定

有符号数的定点表示

定点整数

定点小数

注意：

• 可用 原码、反码、补码 三种方式来表示定点整数和定点小数。

• 还可用 移码 表示定点整数。

• 若真值为 x，则用 [x]原、[x]反、[x]补、[x]移 分别表示真值所对应的原码、反码、补码、移码

原码、反码、补码、移码

原码

反码

• 若符号位为0，则反码与原码相同

• 若符号位为1，则数值位全部取反

补码

• 正数的补码 = 原码

• 负数的补码 = 反码末位+1（要考虑进位）

• 将负数补码转回原码的方法相同：尾数取反，末位+1

移码

• 移码： 补码的基础上将符号位取反。

注意：移码只能用于表示整数

用几种码表示定点整数

各种码的真值0

各种码转换图

各种码表示范围

算数移位运算

移位：通过改变各个数码位和小数点的相对位置，从而改变各数码位的位权。可用移位运算实现乘法、除法

原码的算数移位

例如原码为 10101000 进行算数移位

原码的算数移位——符号位保持不变，仅对数值位进行移位。

• 右移：高位补0，低位舍弃。若舍弃的位=0，则相当于÷2；若舍弃的位≠0，则会丢失精度

• 左移：低位补0，高位舍弃。若舍弃的位=0，则相当于×2；若舍弃的位≠0，则会出现严重误差

反码的算数移位

反码的算数移位——正数的反码与原码相同，因此对正数反码的移位运算也和原码相同。

• 右移：高位补0，低位舍弃。

• 左移：低位补0，高位舍弃

反码的算数移位——负数的反码数值位与原码相反，因此负数反码的移位运算规则如下，

• 右移：高位补1，低位舍弃。

• 左移：低位补1，高位舍弃。

补码的算数移位

补码的算数移位——正数的补码与原码相同，因此对正数补码的移位运算也和原码相同。

• 右移：高位补0，低位舍弃。

• 左移：低位补0，高位舍弃。

补码的算数移位——负数补码=反码末位+1 导致反码最右边几个连续的1都因进位而变为0，直到进位碰到第一个0为止。

规律——负数补码中，最右边的1及其右边同原码。最右边的1的左边同反码

负数补码的算数移位规则如下：

• 右移（同反码）：高位补1，低位舍弃。

• 左移（同原码）：低位补0，高位舍弃。

逻辑移位

• 逻辑右移：高位补0，低位舍弃。

• 逻辑左移：低位补0，高位舍弃。

可以把逻辑移位看作是对“无符号数”的算数移位

逻辑移位的应用举例

例如颜色RGB分别存储的数据为：

R = 102 01100110

G = 139 10001011

B = 139 10001011

需要将三个灰度值合成一个才能成彩色图像

循环移位

原码的加减运算

原码的加法运算：

1. 正+正 → 绝对值做加法，结果为正 （可能会溢出）

2. 负+负 → 绝对值做加法，结果为负 （可能会溢出）

3. 正+负 → 绝对值大的减绝对值小的，符号同绝对值大的数

4. 负+正 → 绝对值大的减绝对值小的，符号同绝对值大的数

原码的减法运算，“减数”符号取反，转变为加法：

• 正-负 → 正+正

• 负-正 → 负+负

• 正-正 → 正+负

• 负+正 → 负-

补码的加减运算

对于补码来说，无论加法还是减法，最后都会转变成加法，由加法器实现运算，符号位也参与运算。

补充：

1. 求[-B]补

[-B]补 ： [B]补连同符号位一起取反加1

2. 负数补 → 原：

①数值位取反+1；

②负数补码中，最右边的1及其右边同原码。最右边的1的左边同反码

例题

我们先看一道例题：设机器字长为8位（含1位符号位），A = 15，B = -24，求[A+B]补和[A−B]补

先将A B的原码补码都求出来

[A+B]补 = [A]补 + [B]补 = 0,0001111 + 1,1101000 = 1,1110111

原码：1,0001001 真值-9

[A-B]补 = [A]补 + [-B]补 = 0,0001111 + 0,0011000 = 0,0100111

真值+39

我们将题改一下：

其中 C = 124，求[A+C]补和[B−C]补，按照上面方法求出可得：

[A+C]补 = 0,0001111 + 0,1111100 = 1,0001011 真值-117 溢出（实际应该是139，但是溢出后是 -117）

[B−C]补 = 1,1101000 + 1,0000100 =0,1101100 真值+108

溢出判断

溢出条件

• 只有“正数+正数 ”才会上溢 —— 正+正=负

• 只有“负数+负数 ”才会下溢 —— 负+负=正

溢出判断：采用双符号位

正数符号为00，负数符号为11

[A+C]补 = 00,0001111 + 00,1111100 = 01,0001011 上溢

[B−C]补 = 11,1101000 + 11,0000100 = 10,1101100 下溢

记两个符号位为S1 S2 ，则V=S1异或S2

• 若V=0，表示无溢出；

• 若V=1，表示有溢出。

乘法运算的思想

手算乘法（二进制）

例如： 算 0.1101×0.1011

列竖式

移位运算

原码的一位乘法

补充：运算器相关知识

运算器：用于实现算术运算（如：加减乘除）、逻辑运算（如：与或非）

• ACC： 累加器，用于存放操作数，或运算结果。

• MQ： 乘商寄存器，在乘、除运算时，用于存放操作数或运算结果。

• X： 通用的操作数寄存器，用于存放操作数

• ALU： 算术逻辑单元，通过内部复杂的电路实现算数运算、逻辑运算

原码一位乘法实现方法：先加法再移位，重复n次

符号位通过异或确定；数值部分通过被乘数和乘数绝对值的 n 轮加法、移位完成根据当前乘数中参与运算的位确定(ACC)加什么。

1. 若当前运算位 =1，则(ACC)+[|x|]原；

2. 若当前运算位 =0，则(ACC)+0。

每轮加法后ACC、MQ的内容统一逻辑右移

手算模拟

tips

• 乘数的符号位不参与运算，可以省略

• 原码一位乘可以只用单符号位

• 答题时最终结果最好写为原码机器数

例题

设机器字长为5位（含1位符号位，n=4），x = −0.1101，y = +0.1011，采用原码一位乘法求x·y

解：手动计算是这样

符号位：1与0进行异或运算，得0。

所以随后结果是：x·y= -0.10001111

补码的一位乘法（Booth算法）

1. 进行 n 轮加法、移位，最后再多来一次加法

2. 每次加法可能 +0 、+[x]补、+[-x]补

3. 每次移位是“补码的算数右移”

4. 符号位参与运算

在第二个步骤中，需要根据MQ中的最低位、辅助位 来确定加什么：

• 辅助位 - MQ中最低位 = 1时，(ACC)+[x]补

• 辅助位 - MQ中最低位 = 0时，(ACC)+0

• 辅助位 - MQ中最低位 = -1时，(ACC)+[-x]补

手算模拟

例题

设机器字长为5位（含1位符号位，n=4），x = −0.1101，y = +0.1011，采用Booth算法求x·y

解：手动计算是这样

最后得 [x·y]补 = 11.01110001

即x·y = −0.10001111

做题总结

1. n轮加法、算数右移，加法规则如下：

辅助位 - MQ中最低位 = 1时，(ACC)+[x]补

辅助位 - MQ中最低位 = 0时，(ACC)+0

辅助位 - MQ中最低位 = -1时，(ACC)+[-x]补

2. 补码的算数右移：

符号位不动，数值位右移，正数右移补0，

负数右移补1（符号位是啥就补啥）

3. 一般来说，Booth算法的被乘数、部分积采用双符号位补码

原码，补码一位乘法的对比

原码除法：恢复余数法（了解，不考）

思路图（打字打不清楚了是）

补充知识：大小端模式与边界对其

大小端模式

大家一定知道：多字节数据在内存里一定是占连续的几个字节

最高有效字节我们用MSB表示

最低有效字节我们用LSB表示

例如

• 大端模式更便于人类阅读

• 小端模式更便于便于机器处理

边界对齐

现代计算机通常是按字节编址，即每个字节对应1个地址

通常也支持按字、按半字、按字节寻址。

假设存储字长为32位，则1个字=32bit，半字=16bit。

每次访存只能读/写1个字

1. 下面是边界对其方式：不够四字节的会填充空的

下面是不对齐方式，不够四字节的不填充

浮点数的表示

定点数：如纯小数0.1011和纯整数11110

浮点数表示形式

阶码：常用补码或移码表示的定点整数

尾数：常用原码或补码表示的定点小数

浮点数的真值：

阶码E反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置；

尾数M的数值部分的位数n反映浮点数的精度。

举个栗子

例题：阶码、尾数均用补码表示，求a、b的真值

a = 0,01;1.1001

b = 0,10;0.01001

解：

a： 阶码0,01对应真值+1

尾数1.1001对应真值-0.0111

a的真值 = 21×(−0.0111) = −0.111

（相当于尾数表示的定点小数算数左移一位，或小数点右移一位）

b： 阶码0,10对应真值+2

尾数0.01001对应真值+0.01001

b的真值 = 22×(+0.01001) = +1.001

（相当于尾数表示的定点小数算数左移2位，或小数点右移2位）

浮点数尾数的规格化

规格化浮点数：规定尾数的最高数值位必须是一个有效值 。

左归与右归

• 左规：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理， 将尾数算数左移一位，阶码减1。

• 右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出（双符号位为01或10）时， 将尾数算数右移一位，阶码加1

说白了就是：

• 左归就是通过算数左移、阶码减1 来规格化

• 右归就是通过算数右移、阶码加1 来规格化

例题：浮点数加法

例：a = 010;00.1100，b = 010;00.1000，求a+b

解：a = 22×00.1100 ，b = 22×00.1000

a+b

= 22×00.1100 + 22×00.1000

= 22×(00.1100 + 00.1000)

= 22×01.0100

= 23×00.1010

（注：采用“双符号位” ，当溢出发生时，可以挽救。更高的符号位是正确的符号位）

规格化浮点数的特点

1. 用原码表示的尾数进行规格化：

• 正数为0.1××…×的形式，其最大值表示为0.11…1；最小值表示为0.10…0。
  尾数的表示范围为1/2≤M≤(1−2−n)。

• 负数为1.1××…×的形式，其最大值表示为1.10…0；最小值表示为1.11…1。
  尾数的表示范围为−(1−2−n)≤M≤−1/2。

2. 用补码表示的尾数进行规格化：

• 正数为0.1××…×的形式，其最大值表示为0.11…1；最小值表示为0.10…0。
  尾数的表示范围为1/2≤M≤(1−2−n)。

• 负数为1.0××…×的形式，其最大值表示为1.01…1；最小值表示为1.00…0。
  尾数的表示范围为−1≤M≤−(1/2+2−n)

3. 表示范围

4. 注意事项（※）

1. 规格化的原码尾数，最高数值位一定是1

2. 规格化的补码尾数，符号位与最高数值位一定相反

3. 补码算数左移，低位补0；补码算数右移，高位补1

浮点数的加减运算

我们可以先通过十进制的浮点数加减运算步骤来类推二进制的

十进制浮点数加减运算步骤：

浮点数加减运算包括五个步骤：① 对阶② 尾数加减③ 规格化④ 舍入⑤ 判溢出

例如：计算9.85211 × 1012 + 9.96007 × 1010

解：