正确性证明
那么我们如何证明，按照这个最小的损失函数值走下去，一定能得到最优的句法树呢？也就是要证明，这个状态c的损失函数，的确就是从状态c能得到的最优句法树和标准树的汉明损失。
首先证明这个损失函数是短语可分解的，也就是证明，对于一个标准树中的短语集合，如果其中的每一个短语都是各自可达的，那么整个集合中的短语可以同时生成。
证明这个性质要用到数学归纳法。首先 
时显然成立，然后假设集合元素个数为 
时性质成立，下面证明集合T元素个数为 
时性质也成立。
令 
表示集合T中偏序最小的短语，即l是最小的，如果l有相等的，就再取r最小的。根据假设， 
是从状态c可到达的gold短语。令 
，所以集合T'有m个元素，根据递归定义，整个集合都是从状态c可达的。
如果短语的可达性条件中第一种情况满足，那么 
已经存在于状态c已生成短语集合中了，那么整个T集合当然是可达的。
如果第二种情况满足，即 
，那么可以通过不断SHIFT再一个REDUCE来得到短语 
。那么T'集合又如何能全部生成呢？可以发现T'集合中的短语，要么是左边界等于l并且右边界大于r的（根据定义），这种可以继续SHUFT再REDUCE得到（满足条件3）。要么是左边界大于等于r的（因为都是标准树中的短语，所以不会有边界交叉），这种满足条件2，也可达。论文中就说了这两种情况，是否还存在一种左边界大于等于l，右边界小于等于r的情况呢？当然这种情况满足条件1，因为在生成
的时候就已经生成了。所以最终T集合还是全部可达的。
如果第三种情况满足，即l是栈里某个短语的边界，而r大于等于j，那么这种情况依然可以通过不断SHIFT再REDUCE得到，而T集合仍然可以全部可达，原因和上一种情况类似。
所以可以证得，从状态c开始，存在某个转移序列，使得所有可达短语全部生成，那么只有不可达的短语会被错过，即：
最后一步就是证明另一项 
等于 
。首先因为前者肯定包含了后者，因为随着转移的进行，预测错误的短语只会增加，不会减少。然后证明最优句法树不会再增加新的错误短语，即从状态c开始的最优句法树一定是 
。这里不是很好想，可以想象从包含当前栈顶短语的最小的标准短语开始，一步步的进行转移，按照James and Huang中的Dynamic Oracle。
至此已经证明了，这个损失函数可以保证每一步都按照最优的策略来进行转移。
实验
实验采用的转移模型都是基于Dyer et al.，并且也采用了James and Huang中的exploration策略来增加错误状态，提高Dynamic Oracle的准确率。
在PTB上的实验结果如下：
结果其实也不是很高，现在来看算低的了，本文只和其他的转移系统结果进行了比较，可以说在转移系统上还算比较高的吧，虽然今年转移系统也做到了92.0了。在运行速度上，本文的模型也比其他转移系统略有提升，我感觉虽然不需要二叉化了，但是REDUCE#k动作的增加同样会增加复杂度，这是自底向上转移系统的一个固有的问题。
总结
本文提出了一个非二叉化的自底向上的转移系统，主要有如下几个贡献点吧：
- 非二叉化预测，采用REDUCE#k动作。
- 采用损失函数来实现Dynamic Oracle。
- 准确率上超过了除了in-order的大多数转移系统。
- 训练速度上是所有转移系统中最快的。
看完这篇，我准备在chart-based的top-down模型上面也搞一个这种Dynamic Oracle试试，需要改变的就是每个状态的损失函数，现在的F1还只有91.87，希望能有所突破吧。
