ACM模板——强连通分量（Tarjan）

一、讲解一

强连通定义：在有向图G中，对于点集V'∈V, 点集中的任意两点都可达，则称V'为强连通。

孤立的一个点也是一个强连通分量。

在嵌套的多个环时 : {所有环上的点}为一个强连通分量( 最小环就是每个孤立点）注意一定是满足条件的最大点集。

则上图中强连通分量有 {1}，{2}，{3}，{7}，{4,5,6}。

tarjan的过程就是dfs过程：

对图dfs一下，遍历所有未遍历过的点 ，会得到一个有向树，显然有向树是没有环的。（注意搜过的点不会再搜）

则能产生环的 只有（指向已经遍历过的点）的边。

如图，只有红色与绿色边有可能产生环。

对于深搜过程，我们需要一个栈来保存当前所在路径上的所有点（栈中所有点一定是有父子关系的）

再仔细观察红边与绿边，首先得到结论：红边不产生环，绿边产生环

1、对于红边，连接的两个点3、7没有父子关系，这种边称为横叉边。横叉边一定不产生环。

2、对于绿边，连接的两个点6、4是父子关系，这种边称为后向边。环一定由后向边产生。

3、图中除了黑色的树枝边，一定只有横叉边和后向边。不存在其他种类的边。

则以下考虑对于这两种边的处理和判断，首先深搜会搜到这样的图：

Stack = {1,2,3},3没有多余的其他边，因此3退栈，把3作为一个强连通分量。

再次深搜：

此时栈 Stack = {1,2,7}

发现红边指向了已经遍历过的点3 => 是上述的2种边之一，而3不在栈中 => 3点与7点无父子关系。

=> 该边为横叉边

=> 采取无视法

继而7点退栈 产生连通分量{7}

继而2点退栈 产生连通分量{2}

再次深搜：

此时 Stack = {1,4,5,6}

发现绿边指向了已经遍历过的点4 => 是上述的2种边之一

而4在栈中 => 4点与6点是父子关系

=> 该边为后向边

=> 4->6 的路径上的点都是环

intnum[N], Top=0;
intu=Stack.top(); 
while(u!=4){ num[Top++] =u; Stack.pop(); u=Stack.top();}
num[Top++] =u;

如此就能把Stack中 4->6 路径上的点转移到num数组里。

显然num数组中的点是一个连通分量。

实际情况可能更复杂：

出现了大环套小环的情况，显然我们认为最大环是一个强连通分量(即:{4,5,6,8} ）。

二、讲解二

全网最详细tarjan算法讲解，我不敢说别的。反正其他tarjan算法讲解，我看了半天才看懂。我写的这个，读完一遍，发现原来tarjan这么简单！

tarjan算法，一个关于图的联通性的神奇算法。基于DFS（迪法师）算法，深度优先搜索一张有向图。注意！是有向图。根据树，堆栈，打标记等种种神（che）奇（dan）方法来完成剖析一个图的工作。而图的联通性，就是任督二脉通不通的问题。

了解tarjan算法之前你需要知道：

强连通，强连通图，强连通分量，解答树（解答树只是一种形式了解即可）

强连通(strongly connected)： 在一个有向图G里，设两个点 a b 发现，由a有一条路可以走到b，由b又有一条路可以走到a，我们就叫这两个顶点（a，b）强连通。

强连通图： 如果 在一个有向图G中，每两个点都强连通，我们就叫这个图，强连通图。

强连通分量strongly connected components)：在一个有向图G中，有一个子图，这个子图每2个点都满足强连通，我们就叫这个子图叫做 强连通分量 ［分量：：把一个向量分解成几个方向的向量的和，那些方向上的向量就叫做该向量（未分解前的向量）的分量。

举个简单的栗子：

比如说这个图，在这个图中呢，点1与点2互相都有路径到达对方，所以它们强连通。

而在这个有向图中，点1 2 3组成的这个子图，是整个有向图中的强连通分量。

解答树：就是一个可以来表达出递归枚举的方式的树（图），其实也可以说是递归图。反正都是一个作用，一个展示从“什么都没有做”开始到“所有结求出来”逐步完成的“过程”！

tarjan算法，之所以用DFS就是因为它将每一个强连通分量作为搜索树上的一个子树。而这个图，就是一个完整的搜索树。

为了使这颗搜索树在遇到强连通分量的节点的时候能顺利进行，每个点都有两个参数。

1、DFN［］作为这个点搜索的次序编号（时间戳），简单来说就是 第几个被搜索到的。// 每个点的时间戳都不一样。

2、LOW［］作为每个点在这颗树中的，最小的子树的根，每次保证最小，like它的父亲结点的时间戳这种感觉。如果它自己的LOW［］最小，那这个点就应该从新分配，变成这个强连通分量子树的根节点。

Ps：每次找到一个新点，这个点 LOW［］＝DFN［］。

而为了存储整个强连通分量，这里挑选的容器是，堆栈。每次一个新节点出现，就进站，如果这个点有 出度 就继续往下找。直到找到底，每次返回上来都看一看子节点与这个节点的LOW值，谁小就取谁，保证最小的子树根。如果找到DFN［］＝＝LOW［］就说明这个节点是这个强连通分量的根节点（毕竟这个 LOW［］值是这个强连通分量里最小的）最后找到强连通分量的节点后，就将这个栈里，比此节点后进来的节点全部出栈，它们就组成一个全新的强连通分量。

先来一段伪代码压压惊：

tarjan(u){
　　DFN[u]=Low[u]=++Index// 为节点u设定次序编号和Low初值　　Stack.push(u)   // 将节点u压入栈中　　foreach (u, v) inE// 枚举每一条边　　　　if (visnotvisted) // 如果节点v未被访问过　　　　　　　　tarjan(v) // 继续向下找　　　　　　　　Low[u] =min(Low[u], Low[v])
　　　　elseif (vinS) // 如果节点u还在栈内　　　　　　　　Low[u] =min(Low[u], DFN[v])
　　if (DFN[u] ==Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根　　repeatv=S.pop// 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点　　printv　　until (u==v)
}

首先来一张有向图。网上到处都是这个图。我们就一点一点来模拟整个算法。

从1进入 DFN［1］＝LOW［1］＝ ＋＋index －－－－1

入栈 1

由1进入2 DFN［2］＝LOW［2］＝ ＋＋index －－－－2

入栈 1 2

之后由2进入3 DFN［3］＝LOW［3］＝ ＋＋index －－－－3

入栈 1 2 3

之后由3进入 6 DFN［6］＝LOW［6］＝＋＋index －－－－4

入栈 1 2 3 6

之后发现 嗯？ 6无出度，之后判断 DFN［6］＝＝ LOW［6］

说明6是个强连通分量的根节点：6及6以后的点 出栈。

栈： 1 2 3

之后退回 节点3 Low[3] = min(Low[3], Low[6]) LOW［3］还是 3

节点3 也没有再能延伸的边了，判断 DFN［3］＝＝ LOW［3］

说明3是个强连通分量的根节点：3及3以后的点 出栈。

栈： 1 2

之后退回 节点2 嗯？！往下到节点5

DFN［5］＝LOW［5］＝ ＋＋index －－－－5

入栈 1 2 5

Ps：你会发现在有向图旁边的那个丑的（划掉）搜索树 用红线剪掉的子树，那个就是强连通分量子树。每次找到一个。直接一剪子下去，半个子树就没有了。

结点5 往下找，发现节点6 DFN［6］有值，被访问过。就不管它。

继续5 往下找，找到了节点1 他爸爸的爸爸。DFN［1］被访问过并且还在栈中，说明1还在这个强连通分量中，值得发现。

Low[5] = min(Low[5], DFN[1])

确定关系，在这棵强连通分量树中，5节点要比1节点出现的晚。所以5是1的子节点。

So LOW［5］＝ 1

由5继续回到2 Low[2] = min(Low[2], Low[5])

LOW［2］＝1；

由2继续回到1 判断 Low[1] = min(Low[1], Low[2])

LOW［1］还是 1

1还有边没有走过。发现节点4，访问节点4

DFN［4］＝LOW［4］＝＋＋index －－－－6

入栈 1 2 5 4

由节点4，走到5，发现5被访问过了，5还在栈里，

Low[4] = min(Low[4], DFN[5]) LOW［4］＝5

说明4是5的一个子节点。

由4回到1

回到1，判断 Low[1] = min(Low[1], Low[4])

LOW［1］还是 1 。

判断 LOW［1］ ＝＝ DFN［1］

诶？！相等了    说明以1为根节点的强连通分量已经找完了。

将栈中1以及1之后进栈的所有点，都出栈。

栈 ：（鬼都没有了）

这个时候就完了吗？！你以为就完了吗？！

然而并没有完，万一你只走了一遍tarjan整个图没有找完怎么办呢？！

所以，tarjan的调用最好在循环里解决。

like 如果这个点没有被访问过，那么就从这个点开始tarjan一遍。

因为这样好让每个点都被访问到。

来一道裸代码。输入：一个图有向图。输出：它每个强连通分量。input:
681312243435464156Output:
653421

三、代码

#include<bits/stdc++.h>#include<cmath>#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)#define ssclr(ss) ss.clear(), ss.str("")#define INF 0x3f3f3f3f#define MOD 1000000007usingnamespacestd;
typedeflonglongll;
constintmaxm=1001, maxn=1001;
structnode{
intv,next;
}edge[maxm<<1];
intdfn[maxn], low[maxn];
intStack[maxn], head[maxn], vis[maxn], cnt, tot, idx;
voidinit()
{
mem(head,-1);
cnt=tot=idx=0;
}
voidadd(intx,inty)
{
edge[++cnt].next=head[x];
edge[cnt].v=y;
head[x]=cnt;
}
voidtarjan(intx) // 代表第几个点在处理,递归的是点{
dfn[x]=low[x]=++tot; // 新进点的初始化Stack[++idx]=x; // 进站vis[x]=1; // 表示在栈里for(inti=head[x]; i!=-1; i=edge[i].next)
    {
if(!dfn[edge[i].v]) // 如果没访问过        {
tarjan(edge[i].v); // 往下进行延伸，开始递归low[x]=min(low[x],low[edge[i].v]); // 递归出来，比较谁是谁的儿子／父亲，就是树的对应关系，涉及到强连通分量子树最小根的事情        }
elseif(vis[edge[i].v]) // 如果访问过，并且还在栈里        {
// 这里的 dfn[edge[i].v] ~ low[edge[i].v]low[x]=min(low[x],dfn[edge[i].v]); // 比较谁是谁的儿子／父亲。就是链接对应关系        }
    }
if(low[x]==dfn[x]) // 发现是整个强连通分量子树里的最小根    {
do        {
printf("%d ",Stack[idx]);
vis[Stack[idx--]]=0; // 必须要写，否则的话，案例中的节点5应该是独个强连通分量，就变成和节点3 4 2 1一起输出了（由于节点6没清空引起）        }
while(x!=Stack[idx+1]); // 出栈，并且输出。puts("");
    }
}
intmain()
{
init();
intn,m,x,y;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(inti=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&x,&y), add(x,y);
for(inti=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i]) tarjan(i); // 当这个点没有访问过，就从此点开始。防止图没走完return0;
}

解释1 ==> low[x]=min(low[x],low[edge[i].v])

当vis成立时，发现下个点可能是最小根点v的存在，并且该点x也没有其他边了，更新low[x]=low[v]，回溯时，传递更新x的父亲节点为可能最小根的low[可能最小根v]。如果x还有其他边，以及此时的可能最小根点v2比上次的v还要小，则覆盖。

解释2 ==> if(low[x]==dfn[x])

1、直到回溯到真正的最小根为止，输出该环。

2、避免了该环的其他非最小根的点单飞出去。