二叉树入门
之前我们实现的符号表中，不难看出，符号表的增删查操作，随着元素个数N的增多，其耗时也是线性增多的，时间复杂度都是O(n),为了提高运算效率，接下来我们学习树这种数据结构。
一、 树的基本定义
树是我们计算机中非常重要的一种数据结构，同时使用树这种数据结构，可以描述现实生活中的很多事物，例如家谱、单位的组织架构、等等。
树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的
树具有以下特点：
1.每个结点有零个或多个子结点；
2.没有父结点的结点为根结点；
3.每一个非根结点只有一个父结点；
4.每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；
二、树的相关术语
结点的度：
一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；
叶结点：
度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点
分支结点：
度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点
结点的层次：
从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推
结点的层序编号：
将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。
树的度：
树中所有结点的度的最大值
树的高度(深度)：
树中结点的最大层次
森林：
m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树
孩子结点：
一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点
双亲结点(父结点)：
一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点
兄弟结点：
同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点
三、二叉树的基本定义
二叉树就是度不超过 2的树(每个结点最多有两个子结点)
满二叉树：
一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
完全二叉树：
叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树
四、二叉查找树的创建
4.1.二叉树的结点类
根据对图的观察，我们发现二叉树其实就是由一个一个的结点及其之间的关系组成的，按照面向对象的思想，我们设计一个结点类来描述结点这个事物。
结点类API设计：
代码实现：
private class Node<Key,Value>{ //存储键 public Key key; //存储值 private Value value; //记录左子结点 public Node left; //记录右子结点 public Node right; public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) { this.key = key; this.value = value; this.left = left; this.right = right; } }
4.2. 二叉查找树API设计
4.3.二叉查找树实现
插入方法put实现思想：
1.如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用
2.如果当前树不为空，则从根结点开始：
2.1如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
2.2如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
2.3如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。
查询方法 get实现思想：
从根节点开始：
1.如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
2.如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
3.如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。
删除方法delete实现思想：
1.找到被删除结点；
2.找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
3.删除右子树中的最小结点
4.让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
5.让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
代码：
// 二叉树代码 public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>, Value> { //记录根结点 private Node root; //记录树中元素的个数 private int N; //获取树中元素的个数 public int size() { return N; } //向树中添加元素key-value public void put(Key key, Value value) { root = put(root, key, value); } //向指定的树x中添加key-value,并返回添加元素后新的树 private Node put(Node x, Key key, Value value) { if (x == null) { //个数+1 N++; return new Node(key, value, null, null); } int cmp = key.compareTo(x.key); if (cmp > 0) { //新结点的key大于当前结点的key，继续找当前结点的右子结点 x.right = put(x.right, key, value); } else if (cmp < 0) { //新结点的key小于当前结点的key，继续找当前结点的左子结点 x.left = put(x.left, key, value); } else { //新结点的key等于当前结点的key，把当前结点的value进行替换 x.value = value; } return x; } //查询树中指定key对应的value public Value get(Key key) { return get(root, key); } //从指定的树x中，查找key对应的值 public Value get(Node x, Key key) { if (x == null) { return null; } int cmp = key.compareTo(x.key); if (cmp > 0) { //如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点； return get(x.right, key); } else if (cmp < 0) { //如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点； return get(x.left, key); } else { //如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。 return x.value; } } //删除树中key对应的value public void delete(Key key) { root = delete(root, key); } //删除指定树x中的key对应的value，并返回删除后的新树 public Node delete(Node x, Key key) { if (x == null) { return null; } int cmp = key.compareTo(x.key); if (cmp > 0) { //新结点的key大于当前结点的key，继续找当前结点的右子结点 x.right = delete(x.right, key); } else if (cmp < 0) { //新结点的key小于当前结点的key，继续找当前结点的左子结点 x.left = delete(x.left, key); } else { //新结点的key等于当前结点的key,当前x就是要删除的结点 //1.如果当前结点的右子树不存在，则直接返回当前结点的左子结点 if (x.right == null) { return x.left; } //2.如果当前结点的左子树不存在，则直接返回当前结点的右子结点 if (x.left == null) { return x.right; } //3.当前结点的左右子树都存在 //3.1找到右子树中最小的结点 Node minNode = x.right; while (minNode.left != null) { minNode = minNode.left; } //3.2删除右子树中最小的结点 Node n = x.right; while (n.left != null) { if (n.left.left == null) { n.left = null; } else { n = n.left; } } //3.3让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点 minNode的右子树 minNode.left = x.left; minNode.right = x.right; //3.4让被删除结点的父节点指向最小结点minNode x = minNode; //个数-1 N--; } return x; } private class Node { //存储键 public Key key; //存储值 private Value value; //记录左子结点 public Node left; //记录右子结点 public Node right; public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) { this.key = key; this.value = value; this.left = left; this.right = right; } } } //测试代码 public class Test { public static void main(String[] args) throws Exception { BinaryTree<Integer, String> bt = new BinaryTree<>(); bt.put(4, "二哈"); bt.put(1, "张三"); bt.put(3, "李四"); bt.put(5, "王五"); System.out.println(bt.size()); bt.put(1,"老三"); System.out.println(bt.get(1)); System.out.println(bt.size()); bt.delete(1); System.out.println(bt.size()); } }
4.4.二叉查找树其他便捷方法
4.4.1.查找二叉树中最小的键在这里插入代码片
在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最小值，比如我们的树中存储的是学生的排名和姓名数据，那么需要查找出排名最低是多少名？这里我们设计如下两个方法来完成：
| public Key min() | 找出树中最小的键 |
| private Node min(Node x) | 找出指定树x中，最小键所在的结点 |
//找出整个树中最小的键 public Key min(){ return min(root).key; } //找出指定树x中最小的键所在的结点 private Node min(Node x){ if (x.left!=null){ return min(x.left); }else{ return x; } }
