【背包问题の第五讲】强化利用「等差」特性推导「完全背包」的核心要素

前言

今天是我们讲解动态规划专题中的「背包问题」的第五天。

从本篇开始，我们会完成三道与 完全背包 相关的练习题，希望大家能够坚持住。

另外，我在文章结尾处列举了我所整理的关于背包问题的相关题目。

背包问题我会按照编排好的顺序进行讲解（每隔几天更新一篇，确保大家消化）。

你也先可以尝试做做，也欢迎你向我留言补充，你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~

题目描述

这是 LeetCode 上的279. 完全平方数，难度为 Medium。

给定正整数 nnn，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 nnn。

你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数 nnn ，返回和为 nnn 的完全平方数的「最少数量」。

「完全平方数」是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。

例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12
输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4
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示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9
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提示：

• 1 <= n <= 10410^4104

完全背包（朴素解法）

首先「完全平方数」有无限个，但我们要凑成的数字是给定的。

因此我们第一步可以将范围在 [1,n][1, n][1,n] 内的「完全平方数」预处理出来。

这一步其实就是把所有可能用到的数字先预处理出来。

同时由于题目没有限制我们相同的「完全平方数」只能使用一次。

因此我们的问题转换为：

给定了若干个数字，每个数字可以被使用无限次，求凑出目标值 nnn 所需要用到的是最少数字个数是多少。

这显然符合「完全背包」模型。

目前我们学过的两类背包问题（01 背包 & 完全背包）的原始状态定义都是两维：

• 第一维 iii 代表物品编号
  
• 第二维 jjj 代表容量

其中第二维 jjj 又有「不超过容量 jjj」和「容量恰好为 jjj」两种定义。

本题要我们求「恰好」凑出 nnn 所需要的最少个数。

因此我们可以调整我们的「状态定义」：

f[i][j]f[i][j]f[i][j] 为考虑前 iii 个数字，凑出数字总和 jjj 所需要用到的最少数字数量。

不失一般性的分析 f[i][j]f[i][j]f[i][j]，对于第 iii 个数字（假设数值为 ttt），我们有如下选择：

• 选 0 个数字 iii，此时有 f[i][j]=f[i−1][j]f[i][j] = f[i - 1][j]f[i][j]=f[i−1][j]
  
• 选 1 个数字 iii，此时有 f[i][j]=f[i−1][j−t]+1f[i][j] = f[i - 1][j - t] + 1f[i][j]=f[i−1][j−t]+1
  
• 选 2 个数字 iii，此时有 f[i][j]=f[i−1][j−2∗t]+2f[i][j] = f[i - 1][j - 2 * t] + 2f[i][j]=f[i−1][j−2∗t]+2
  

...

• 选 k 个数字 iii，此时有 f[i][j]=f[i−1][j−k∗t]+kf[i][j] = f[i - 1][j - k * t] + kf[i][j]=f[i−1][j−k∗t]+k

因此我们的状态转移方程为：

f[i][j]=min(f[i−1][j−k∗t]+k),0⩽k∗t⩽jf[i][j] = min(f[i-1][j-k*t]+k),0 \leqslant k * t \leqslant jf[i][j]=min(f[i−1][j−k∗t]+k),0⩽k∗t⩽j

当然，能够选择 kkk 个数字 iii 的前提是，剩余的数字 j−k∗tj - k * tj−k∗t 也能够被其他「完全平方数」凑出，即 f[i−1][j−k∗t]f[i - 1][j - k * t]f[i−1][j−k∗t] 为有意义的值。

代码：

class Solution {
    int INF = -1;
    public int numSquares(int n) {
        // 预处理出所有可能用到的「完全平方数」
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        int idx = 1;
        while (idx * idx <= n) {
            list.add(idx * idx);
            idx++;
        }
        // f[i][j] 代表考虑前 i 个物品，凑出 j 所使用到的最小元素个数
        int len = list.size();
        int[][] f = new int[len][n + 1]; 
        // 处理第一个数的情况
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            int t = list.get(0);
            int k = j / t;
            if (k * t == j) { // 只有容量为第一个数的整数倍的才能凑出
                f[0][j] = k; 
            } else { // 其余则为无效值
                f[0][j] = INF;
            }
        }
        // 处理剩余数的情况
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            int t = list.get(i);
            for (int j = 0; j <= n; j++) {
                // 对于不选第 i 个数的情况
                f[i][j] = f[i - 1][j];
                // 对于选 k 次第 i 个数的情况
                for (int k = 1; k * t <= j; k++) {
                    // 能够选择 k 个 t 的前提是剩余的数字 j - k * t 也能被凑出
                    if (f[i - 1][j - k * t] != INF) {
                        f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i - 1][j - k * t] + k);
                    }
                }
            }
        }
        return f[len - 1][n];
    }
}
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• 时间复杂度：预处理出所有可能用到的数字复杂度为 O(n)O(\sqrt{n})O(n)，共有 n∗nn * \sqrt{n}n∗n 个状态需要转移，每个状态转移最多遍历 nnn 次，因此转移完所有状态复杂度为 O(n2∗n)O(n^2 * \sqrt{n})O(n2∗n)。整体复杂度为 O(n2∗n)O(n^2 * \sqrt{n})O(n2∗n)。
• 空间复杂度：O(n∗n)O(n * \sqrt{n})O(n∗n)。

完全背包（进阶）

显然朴素版的完全背包进行求解复杂度有点高。

在上一节讲解 完全背包 的时候，我们从「数学」角度来推导为何能够进行一维空间优化。

这次我们还是按照同样的思路再进行一次推导，加强大家对这种优化方式的理解。

从二维的状态转移方程入手进行分析（假设第 iii 个数字为 ttt）：

至此，我们得到了最终的状态转移方程：

f[j]=min(f[j],f[j−t]+1)f[j] = min(f[j], f[j - t] + 1)f[j]=min(f[j],f[j−t]+1)

代码：

class Solution {
    int INF = -1;
    public int numSquares(int n) {
        // 预处理出所有可能用到的「完全平方数」
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        int idx = 1;
        while (idx * idx <= n) {
            list.add(idx * idx);
            idx++;
        }
        // f[j] 代表考虑到当前物品为止，凑出 j 所使用到的最小元素个数
        int len = list.size();
        int[] f = new int[n + 1]; 
        // 处理第一个数的情况
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            int t = list.get(0);
            int k = j / t;
            if (k * t == j) { // 只有容量为第一个数的整数倍的才能凑出
                f[j] = k;
            } else { // 其余则为无效值
                f[j] = INF;
            }
        }
        // 处理剩余数的情况
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            int t = list.get(i);
            for (int j = t; j <= n; j++) {
                // 当不更新 f[j] 的时候，对应了二维表示中的 f[i - 1][j]
                // 可以更新 f[j] 的前提是：剩余的 j - k * t 也能够被凑出
                // 更新 f[j] 所依赖的 f[j - t] 对应了二维表示中的 f[i - 1][j - k * t]
                if (f[j - t] != INF) f[j] = Math.min(f[j], f[j - t] + 1);
            }
        }
        return f[n];
    }
}
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• 时间复杂度：预处理出所有可能用到的数字复杂度为 O(n)O(\sqrt{n})O(n)，共有 n∗nn * \sqrt{n}n∗n 个状态需要转移，复杂度为 O(n∗n)O(n * \sqrt{n})O(n∗n)。整体复杂度为 O(n∗n)O(n * \sqrt{n})O(n∗n)。
• 空间复杂度：O(n)O(n)O(n)。

总结

今天，我们强化了 上一节 的「完全背包」一维优化方式的遍历顺序推导过程。

又一次的带大家从朴素的二维状态定义出发，逐步推导出一维空间的状态转移方程，并从状态转移方程确定遍历顺序。

可以发现，这道题和我们传统的「完全背包」的状态定义不同：

传统的「完全背包」的状态定义是要我们求最大价值，而本题则是求取得某个价值所需要的最少元素个数。

但模型仍然是对应「每个物品可以选择无限个，每选一个物品会带来相应的价值与成本」的「完全背包」模型。

建议大家结合 上一节 的内容好好体会。

背包问题（目录）

1. 01背包 : 背包问题 第一讲

1. 【练习】01背包 : 背包问题 第二讲
   
2. 【学习&练习】01背包 : 背包问题 第三讲
   

2. 完全背包 : 背包问题 第四讲

1. 【练习】完全背包 : 本篇
   
2. 【练习】完全背包 : 背包问题 第六讲
   
3. 【练习】完全背包 : 背包问题 第七讲
   

3. 多重背包 : 背包问题 第八讲
   
4. 多重背包（优化篇）

1. 【上】多重背包（优化篇）: 背包问题 第九讲
   
2. 【下】多重背包（优化篇）: 背包问题 第十讲
   

5. 混合背包 : 背包问题 第十一讲
   
6. 分组背包 : 背包问题 第十二讲

1. 【练习】分组背包 : 背包问题 第十三讲

7. 多维背包

1. 【练习】多维背包 : 背包问题 第十四讲
   
2. 【练习】多维背包 : 背包问题 第十五讲
   

8. 树形背包 : 背包问题 第十六讲

1. 【练习篇】树形背包
   
2. 【练习篇】树形背包
   

9. 背包求方案数

1. 【练习】背包求方案数

10. 背包求具体方案

1. 【练习】背包求具体方案

11. 泛化背包

1. 【练习】泛化背包