####本节书摘来自华章出版社《深度学习导论及案例分析》一书中的第1章，第1.2节，作者李玉鑑 张婷，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。
1.2深层网络的特点和优势
神经网络由许多简单的、互连的称为神经元的处理器组成。每一个神经元产生一系列的实值激活［73］，其中输入神经元通过传感器激活，其余神经元通过连接激活。
例如，图1.1是两个浅层网络的例子，其中图1.1a是一个单隐层的普通神经
网络，图1.1b是一个单隐层的和积网络。图1.2是两个深层网络的例子，其中图1.2a是一个多层神经网络，图1.2b是一个多层和积网络。
根据Bengio的定义［8］，深层网络由多层自适应非线性单元组成。换句话说，深层网络是非线性模块的级联，在所有层次上都包含可训练的参数。在理论上，深层网络和浅层网络的数学描述是类似的，而且都能够通过函数逼近表达数据的内在关系和本质特征。不过应注意，网络虽然在狭义上是指由神经元构成的神经网络，但在广义上可以指任何具有网络结构的学习模型。
迄今还没有公认的区分深层网络和浅层网络的深度划界标准。依据Schmidhuber的观点［73］，深层网络和浅层网络可以用得分路径（或译为信度分配路径，Credit Assignment Path，CAP）深度加以区分。得分路径是一条可学习的、连接行为和结果的因果链。对于前馈神经网络，得分路径深度，也就是网络深度，是网络的隐含层数加1（输出层也是可学习的）。对于循环神经网络，得分路径长度可能是无限的，因为信号可以多次通过同一个层。一般认为深层网络至少包含3个非输入层或者CAP>2，而非常深的网络应该深度（或CAP）至少大于10。在工程实践中，深层网络通常是一个多层人工神经网络，可以包含多个隐含层和多达几百万个自由参数。
浅层网络对机器学习来说也很重要，包括单隐层网络［74］、高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）［75］、隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）［76］、条件随机场（Conditionsl Random Field，CRF）［77］、支持向量机（Support Vector Machine，SVM）［78］、逻辑回归［79］、最大熵模型［80］，等等。这些网络的共同特点是，它们都使用不超过三层的结构将原始输入信号变换到一个特征空间。毋庸置疑，浅层网络对解决许多简单的和有良好约束的问题非常有效，但在解决真实世界的复杂应用问题时，往往出现函数表达能力不足的情况。这是因为在处理某些问题时，可能需要指数增长的计算单元，而此时深层网络则可能仅需相对很少的计算单元［81］。
作为例子，不妨来分析一个具有递归结构的和积网络的函数表达能力。设输入变量的个数n=4i，其中i是正整数。l0代表输入层，其中第j个节点表示为l0j=xj，1≤j≤n。分别构造奇数层和偶数层的节点如下：
l2k+1j=l2k2j-1•l2k2j，0≤k≤i-1和1≤j≤22（i-k）-1
l2kj=λjkl2k-12j-1+μjkl2k-12j，1≤k≤i和1≤j≤22（i-k）（1.1）# 其中，权值λjk和权值μjk都为正数。
该和积网络的输出f（x1，…，xn）=l2i1∈R是一个单节点。当i=1时，网络共有3个非输入节点，结构如图1.3所示。由于对任意正整数i，
这个和积网络在不计输入层时共有2i层，其中包含的（非输入）节点总数为1+2+4+8+…+22i-1=22i-1=4i-1=n-1，所以网络规模仅具有线性复杂度。显然，这个递归和积网络在i>1时是一个深层网络。
如果用图1.1b中的单隐层和积网络来计算函数f（x1，x2，…，xn），那么需要把它改写成输入变量乘积的加权和形式。当所有权值都取1时，可以得到下面的表达式：
f（x1，x2，…，x4i）=x1x2x5x6…x4i-1-3x4i-1-2+…（1.2）
由于在该表达式中乘积项的数量为m2i=2n-1，因此用单隐层和积网络计算需要2n-1个积节点和一个和节点，共需2n-1+1个节点，网络规模具有指数复杂度。因为在n较大时，2n-1+1将远远大于n-1，所以用浅层和积网络计算具有n个输入的函数，需要的节点个数可能比深层和积网络多得多。例如，当n=45=1024时，用浅层和积网络计算f（x1，…，xn）=l2i1，需要21024-1+1=231+1=2147483649个节点，而用深层和积网络仅需1024-1=1023个节点。
由此可见，在表达同样的复杂函数时，与浅层网络相比，深层网络可能只需要很少的节点和很少的参数。这意味着，在总节点数大致相同的情况下，深层网络通常比浅层网络的函数表达能力更强。
