树型结构

概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点

除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i

<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

树是递归定义的。

节点的度： 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；

树的度： 一棵树中，最大的节点的度称为树的度；

叶子节点或终端节点： 度为0的节点称为叶节点；

双亲节点或父节点： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；

孩子节点或子节点： 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；

根结点： 一棵树中，没有双亲结点的结点；

节点的层次： 从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度： 树中节点的最大层次；

非终端节点或分支节点： 度不为0的节点；

兄弟节点： 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；

堂兄弟节点： 双亲在同一层的节点互为堂兄弟；

节点的祖先： 从根到该节点所经分支上的所有节点；

子孙： 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。

森林： 由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林

树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。

这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
 int value; // 树中存储的数据
 Node firstChild; // 第一个孩子引用
 Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

树的应用

• 文件系统管理（目录和文件）等

二叉树（重头戏）

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

二叉树的基本形态

上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：

空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右子树、节点的左右子树均存在

一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。

两种特殊的二叉树：

满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。

完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) (i>0)个结点

若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k -1 (k>=0)

对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1) 向上取整

对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

①若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

②若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

③若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

比如一道例题： 假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中__500__ 个叶子节点，__ 500___ 个非叶子节点 ， __ 1 __ 个节点只有左孩子 ，__0__个只有右孩子。

问题解析：

总共有多少层？k=log2(1000+1) =10层

如果是10层，那么放满也就是满二叉树，总共2^10-1 = 1023个节点，但是现在只有1000个，那么说明当前这个树，不是满二叉树

第10层肯定是没放满的！！！

说明第9层肯定放满了

那前9层共有多少个节点呢？2^9-1 = 511个

所以第10层有1000-511=489个节点，都是叶子节点

现在就要考虑一个问题，第10层的节点是由多少个第9层节点产生的？489/2=244.5取245个

第9层这一层有多少个节点？2^(9-1) = 256个

所以第9层有245个节点是有孩子的，其中有1个节点只有一个左孩子，所以第9层的叶子节点有256-245=11个,第9层第10层的叶子节点共有11+489 =500个