一：四大取整
1.1、 0向取整
看代码：
#include <stdio.h> int main() { //本质是向0取整 int i = -2.9; int j = 2.9; printf("%d\n", i); //结果是：-2 printf("%d\n", j); //结果是：2 printf("%d %d\n", 5 / 2, -5 / 2); // 2 -2 return 0; }
C中默认0向取整，画图解释0向取整：
C语言当中有一个trunc函数，运用的也是0向取整。注意引用头文件#include<math.h>.示例如下：
#include <stdio.h> #include<math.h> int main() { int i = -2.9; int j = 2.9; printf("%d\n", i); //结果是：-2 printf("%d\n", j); //结果是：2 printf("%d\n", (int)trunc(2.9)); //结果是：2 //结果是：-2 printf("%d\n", (int)trunc(-2.9));//结果是：-2 return 0; }
1.2、 -∞取整（ 地板取整）
其实运用的是floor函数，跟上述trunc一样引用#include<math.h>
看代码：
#include<stdio.h> #include<math.h> int main() { printf("%.1f\n", floor(-2.9)); // -3.0 printf("%.1f\n", floor(-2.1)); // -3.0 printf("%.1f\n", floor(2.9)); // 2.0 printf("%.1f\n", floor(2.1)); // 2.0 return 0; }
画图解释-∞取整
运用的是ceil函数，同样需要#include<math.h>
看代码：
#include<stdio.h> #include<math.h> int main() { printf("%.1f\n", ceil(-2.9)); // -2.0 printf("%.1f\n", ceil(-2.1)); // -2.0 printf("%.1f\n", ceil(2.9)); // 3.0 printf("%.1f\n", ceil(2.1)); // 3.0 return 0; }
画图解释+∞取整：
1.4、 四舍五入取整
运用的是round函数，同样需要#include<math.h>
看代码：
#include<stdio.h> #include<math.h> int main() { printf("%.1f\n", round(-2.9)); // -3.0 printf("%.1f\n", round(-2.1)); // -2.0 printf("%.1f\n", round(2.9)); // 3.0 printf("%.1f\n", round(2.1)); // 2.0 }
1.5、 例子汇总
#include <stdio.h> #include <math.h> int main() { const char* format = "%.1f \t%.1f \t%.1f \t%.1f \t%.1f\n"; printf("value\tround\tfloor\tceil\ttrunc\n"); printf("-----\t-----\t-----\t----\t-----\n"); printf(format, 2.3, round(2.3), floor(2.3), ceil(2.3), trunc(2.3)); printf(format, 3.8, round(3.8), floor(3.8), ceil(3.8), trunc(3.8)); printf(format, 5.5, round(5.5), floor(5.5), ceil(5.5), trunc(5.5)); printf(format, -2.3, round(-2.3), floor(-2.3), ceil(-2.3), trunc(-2.3)); printf(format, -3.8, round(-3.8), floor(-3.8), ceil(-3.8), trunc(-3.8)); printf(format, -5.5, round(-5.5), floor(-5.5), ceil(-5.5), trunc(-5.5)); return 0; }
结论：
浮点数（整数/整数），是有很多的取整方式的。
二：取模 / 取余
2.1、 概念
如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r 且0 ≤ r < d。其中，q 被称为商，r 被称为余数。
2.2、 示例（C和Python）
#include <stdio.h> int main() { int a = 10; int d = 3; printf("%d\n", a % d); //结果是1 //因为：a=10,d=3,q=3,r=1 0<=r<d(3) //所以：a = q*d+r -> 10=3*3+1 int m = -10; int n = 3; printf("%d\n", m / n); //C语言中是-3，很好理解 printf("%d\n", m % n); //C语言是-1 return 0; }
在C语言中，我们对-10/3=-3以及-10%3=-1很好理解，没有争议
而在Python中，-10/3竟然=-4，而-10%3竟然=2
为什么呢？
结论：很显然，上面关于取模的定义，并不能满足语言上的取模运算
解析：
因为在C中，现在-10%3出现了负数，根据定义：满足 a = q*d + r 且0 ≤ r < d，C语言中的余数，是不满足定义的， 因为，r<0了。
故，大家对取模有了一个修订版的定义： 如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数。
有了这个新的定义，那么C中或者Python中的“取模”，就都能解释了。
解释C: -10 = (-3) * 3 + (-1)
解释Python：-10 = （?）* 3 + 2,其中，可以推到出来,'?'必须是-4(后面验证).即-10 = （-4）* 3 + 2，才能 满足定义。
所以，在不同语言，同一个计算表达式，负数“取模”结果是不同的。我们可以称之为分别叫做正余数 和 负余数
是什么决定了这种现象？
由上面的例子可以看出，具体余数r的大小，本质是取决于商q的。
而商，又取决谁呢？取决于除法计算的时候，取整规则。
2.3、 取余和取模一样吗？
细心的同学，应该看到了，我上面的取模都是带着""的。说明这两个并不能严格等价(虽然大部分情况差不多) 取余或者取模，都应该要算出商，然后才能得出余数。
本质 1 取整：
取余：尽可能让商，进行向0取整。
取模：尽可能让商，向-∞方向取整。
故：
C中%,本质其实是取余。
Python中%，本质其实是取模。
理解链：
对任何一个大于0的数，对其进行0向取整和-∞取整，取整方向是一致的。故取模等价于取余 对任何一个小于0的数，对其进行0向取整和-∞取整，取整方向是相反的。故取模不等价于取余
同符号数据相除，得到的商，一定是正数（正数vs正整数），即大于0！ 故，在对其商进行取整的时候，取模等价于取余。
本质 2 符号：
参与取余的两个数据，如果同符号，取模等价于取余
2.4、 计算数据同符号
看代码：
#include <stdio.h> int main() { printf("%d\n", 10 / 3); // 3 printf("%d\n\n", 10 % 3);// 1 printf("%d\n", -10 / -3); // 3 printf("%d\n\n", -10 % -3); // -1 return 0; }
在Python中，我们发现运行结果和上述一样。
结论：通过对比试验，更加验证了，参与取余的两个数据，如果同符号，取模等价于取余
2.5、 计算数据不同符号
看代码：
#include <stdio.h> int main() { printf("%d\n", -10 / 3); //结果：-3 printf("%d\n\n", -10 % 3); //结果：-1 为什么? -10=(-3)*3+(-1) printf("%d\n", 10 / -3); //结果：-3 printf("%d\n\n", 10 % -3); //结果：1 为什么？10=(-3)*(-3)+1 return 0; }
而在Python中，结果却不是这样的。
明显结论：如果不同符号，余数的求法，参考之前定义。而余数符号，与被除数相同。
为什么呢？
重新看看定义：如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数
a = q*d + r 变换成 r = a - q*d 变换成 r = a + (-q*d)
对于：x = y + z，这样的表达式，x的符号 与 |y|、|z|中大的数据一致
而r = a + (-q*d)中，|a| 和 |-q*d|的绝对值谁大，取决于商q的取整方式。
c是向0取整的，也就是q本身的绝对值是减小的。如：
-10/3=-3.333.33 向0取整 -3. a=-10 |10|, -q*d=-(-3)*3=9 |9|
10/-3=-3.333.33 向0取整 -3. a=10 |10|, -q*d=-(-3)*(-3)=-9 |9|
绝对值都变小了
python是向-∞取整的，也就是q本身的绝对值是增大的。
-10/3=-3.333.33 '//'向-∞取整 -4. a=-10 |10|, -q*d=-(-4)*3=12 |12|
10/-3=--3.333.33 '//'向-∞取整 -4. a=10 |10|, -q*d=-(-4)*(-3)=-12 |12|
绝对值都变大了
结论：如果参与取余的两个数据符号不同，在C语言中(或者其他采用向0取整的语言如：C++，Java)，余数符号，与被除数 相同。
2.6、 总结
（1）浮点数(或者整数相除)，是有很多的取整方式的。
（2）如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数。
（3）在不同语言，同一个计算表达式，“取模”结果是不同的。我们可以称之为分别叫做正余数 和 负余数
（4）具体余数r的大小，本质是取决于商q的。而商，又取决于除法计算的时候，取整规则。
（5）取余vs取模： 取余尽可能让商，进行向0取整。取模尽可能让商，向-∞方向取整。
（6）参与取余的两个数据，如果同符号，取模等价于取余
（7）如果参与取余的两个数据符号不同，在C语言中(或者其他采用向0取整的语言如： C++，Java)，余数符号，与被 除数相同。（因为采用的向0取整）
