【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析(线段树)-阿里云开发者社区

开发者社区> 愚公搬代码> 正文

【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析(线段树)

简介: 【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析(线段树)
+关注继续查看
/// <summary>
/// 线段树:线段树是二叉树的一种,常常被用于求区间和与区间最大值等操作
/// </summary>
public class SegmentTree
{
    List<int> _orignalData = new List<int>();
    List<int?> _tree = new List<int?>();
    public SegmentTree()
    {
        for (int i = 0; i < 1000; i++)
        {
            _tree.Add(null);
        }
    }

    public void Print()
    {
        for (int i = 0; i < _tree.Count; i++)
        {
            if (_tree[i] == null)
            {
                continue;
            }
            Console.WriteLine($"第{i}:{_tree[i]}");
        }
    }


    public void Fill(List<int> data)
    {
        _orignalData = data;
        Fill(0, 0, _orignalData.Count - 1);
    }

    private void Fill(int node, int start, int end)
    {
        if (start == end)
        {
            _tree[node] = _orignalData[start];
        }
        else
        {
            int mid = (start + end) / 2;
            int leftNode = 2 * node + 1;
            int rightNode = 2 * node + 2;
            Fill(leftNode, start, mid);
            Fill(rightNode, mid + 1, end);
            _tree[node] = _tree[leftNode] + _tree[rightNode];
        }
    }

    public void Set(int index, int val)
    {
        SetValue(0, 0, _orignalData.Count - 1, index, val);
    }

    private void SetValue(int node, int start, int end, int index, int val)
    {
        if (start == end)
        {
            _orignalData[index] = val;
            _tree[node] = val;
        }
        else
        {
            int mid = (start + end) / 2;
            int leftNode = 2 * node + 1;
            int rightNode = 2 * node + 2;
            if (index >= start && index <= mid)
            {
                SetValue(leftNode, start, mid, index, val);
            }
            else
            {
                SetValue(rightNode, mid + 1, end, index, val);
            }
            _tree[node] = _tree[leftNode] + _tree[rightNode];
        }
    }


    public int? GetSum(int left, int right)
    {
        return Query(0, 0, _orignalData.Count - 1, left, right);
    }


    private int? Query(int node, int start, int end, int left, int right)
    {
        if (right < start || left > end)
        {
            return 0;
        }
        else if (left <= start && end <= right)
        {
            return _tree[node];
        }
        else if (start == end)
        {
            return _tree[node];
        }
        else
        {
            int mid = (start + end) / 2;
            int leftNode = 2 * node + 1;
            int rightNode = 2 * node + 2;
            int? sumLeft = Query(leftNode, start, mid, left, right);
            int? sumRight = Query(rightNode, mid + 1, end, left, right);
            return sumLeft + sumRight;
        }
    }
}

原理

(注:由于线段树的每个节点代表一个区间,以下叙述中不区分节点和区间,只是根据语境需要,选择合适的词)

线段树本质上是维护下标为1,2,…,n的n个按顺序排列的数的信息,所以,其实是“点树”,是维护n的点的信息,至于每个点的数据的含义可以有很多,

在对线段操作的线段树中,每个点代表一条线段,在用线段树维护数列信息的时候,每个点代表一个数,但本质上都是每个点代表一个数。以下,在讨论线段树的时候,区间[L,R]指的是下标从L到R的这(R-L+1)个数,而不是指一条连续的线段。只是有时候这些数代表实际上一条线段的统计结果而已。


线段树是将每个区间[L,R]分解成[L,M]和[M+1,R] (其中M=(L+R)/2 这里的除法是整数除法,即对结果下取整)直到 L==R 为止。

开始时是区间[1,n] ,通过递归来逐步分解,假设根的高度为1的话,树的最大高度为(n>1)。

线段树对于每个n的分解是唯一的,所以n相同的线段树结构相同,这也是实现可持久化线段树的基础。

下图展示了区间[1,13]的分解过程:

image.png

上图中,每个区间都是一个节点,每个节点存自己对应的区间的统计信息。


(1)线段树的点修改:


假设要修改[5]的值,可以发现,每层只有一个节点包含[5],所以修改了[5]之后,只需要每层更新一个节点就可以线段树每个节点的信息都是正确的,所以修改次数的最大值为层数。

复杂度O(log2(n))


(2)线段树的区间查询:


线段树能快速进行区间查询的基础是下面的定理:

定理:n>=3时,一个[1,n]的线段树可以将[1,n]的任意子区间[L,R]分解为不超过个子区间。

这样,在查询[L,R]的统计值的时候,只需要访问不超过个节点,就可以获得[L,R]的统计信息,实现了O(log2(n))的区间查询。


下面给出证明:


(2.1)先给出一个粗略的证明(结合下图):

先考虑树的最下层,将所有在区间[L,R]内的点选中,然后,若相邻的点的直接父节点是同一个,那么就用这个父节点代替这两个节点(父节点在上一层)。这样操作之后,本层最多剩下两个节点。若最左侧被选中的节点是它父节点的右子树,那么这个节点会被剩下。若最右侧被选中的节点是它的父节点的左子树,那么这个节点会被剩下。中间的所有节点都被父节点取代。

对最下层处理完之后,考虑它的上一层,继续进行同样的处理,可以发现,每一层最多留下2个节点,其余的节点升往上一层,这样可以说明分割成的区间(节点)个数是大概是树高的两倍左右。


下图为n=13的线段树,区间[2,12],按照上面的叙述进行操作的过程图:


image.png

image.png

由图可以看出:在n=13的线段树中,[2,12]=[2] + [3,4] + [5,7] + [8,10] + [11,12] 。


(2.2)然后给出正式一点的证明:

定理:n>=3时,一个[1,n]的线段树可以将[1,n]的任意子区间[L,R]分解为不超过个子区间。


用数学归纳法,证明上面的定理:

首先,n=3,4,5时,用穷举法不难证明定理成立。

假设对于n= 3,4,5,…,k-1上式都成立,下面来证明对于n=k ( k>=6 )成立:

分为4种情况来证明:


情况一:[L,R]包含根节点(L=1且R=n),此时,[L,R]被分解为了一个节点,定理成立。


情况二:[L,R]包含根节点的左子节点,此时[L,R]一定不包含根的右子节点(因为如果包含,就可以合并左右子节点,

用根节点替代,此时就是情况一)。这时,以右子节点为根的这个树的元素个数为。

[L,R]分成的子区间由两部分组成:

一:根的左子结点,区间数为1

二:以根的右子节点为根的树中,进行区间查询,这个可以递归使用本定理。

由归纳假设可得,[L,R]一共被分成了个区间。

情况三:跟情况二对称,不一样的是,以根的左子节点为根的树的元素个数为。

[L,R]一共被分成了个区间。

从公式可以看出,情况二的区间数小于等于情况三的区间数,于是只需要证明情况三的区间数符合条件就行了。


于是,情况二和情况三定理成立。


情况四:[L,R]不包括根节点以及根节点的左右子节点。

于是,剩下的层,每层最多两个节点(参考粗略证明中的内容)。

于是[L,R]最多被分解成了个区间,定理成立。


上面只证明了是上界,但是,其实它是最小上界。

n=3,4时,有很多组区间的分解可以达到最小上界。

当n>4时,当且仅当n=2^t (t>=3),L=2,R=2^t -1 时,区间[L,R]的分解可以达到最小上界。

就不证明了,有兴趣可以自己去证明。

下图是n=16 , L=2 , R=15 时的操作图,此图展示了达到最小上界的树的结构。


image.png

image.png

3)线段树的区间修改:

线段树的区间修改也是将区间分成子区间,但是要加一个标记,称作懒惰标记。

标记的含义:

本节点的统计信息已经根据标记更新过了,但是本节点的子节点仍需要进行更新。

即,如果要给一个区间的所有值都加上1,那么,实际上并没有给这个区间的所有值都加上1,而是打个标记,记下来,这个节点所包含的区间需要加1.打上标记后,要根据标记更新本节点的统计信息,比如,如果本节点维护的是区间和,而本节点包含5个数,那么,打上+1的标记之后,要给本节点维护的和+5。这是向下延迟修改,但是向上显示的信息是修改以后的信息,所以查询的时候可以得到正确的结果。有的标记之间会相互影响,所以比较简单的做法是,每递归到一个区间,首先下推标记(若本节点有标记,就下推标记),然后再打上新的标记,这样仍然每个区间操作的复杂度是O(log2(n))。


标记有相对标记和绝对标记之分:

相对标记是将区间的所有数+a之类的操作,标记之间可以共存,跟打标记的顺序无关(跟顺序无关才是重点)。

所以,可以在区间修改的时候不下推标记,留到查询的时候再下推。

注意:如果区间修改时不下推标记,那么PushUp函数中,必须考虑本节点的标记。

而如果所有操作都下推标记,那么PushUp函数可以不考虑本节点的标记,因为本节点的标记一定已经被下推了(也就是对本节点无效了)

绝对标记是将区间的所有数变成a之类的操作,打标记的顺序直接影响结果,

所以这种标记在区间修改的时候必须下推旧标记,不然会出错。


注意,有多个标记的时候,标记下推的顺序也很重要,错误的下推顺序可能会导致错误。


之所以要区分两种标记,是因为非递归线段树只能维护相对标记。

因为非递归线段树是自底向上直接修改分成的每个子区间,所以根本做不到在区间修改的时候下推标记。

非递归线段树一般不下推标记,而是自下而上求答案的过程中,根据标记更新答案。


(4)线段树的存储结构:

线段树是用数组来模拟树形结构,对于每一个节点R ,左子节点为 2R (一般写作R<<1)右子节点为 2R+1(一般写作R<<1|1)

然后以1为根节点,所以,整体的统计信息是存在节点1中的。

这么表示的原因看下图就很明白了,左子树的节点标号都是根节点的两倍,右子树的节点标号都是左子树+1:

image.png

线段树需要的数组元素个数是:,一般都开4倍空间,比如: int A[n<<2];

版权声明:本文内容由阿里云实名注册用户自发贡献,版权归原作者所有,阿里云开发者社区不拥有其著作权,亦不承担相应法律责任。具体规则请查看《阿里云开发者社区用户服务协议》和《阿里云开发者社区知识产权保护指引》。如果您发现本社区中有涉嫌抄袭的内容,填写侵权投诉表单进行举报,一经查实,本社区将立刻删除涉嫌侵权内容。

相关文章
阿里云服务器怎么设置密码?怎么停机?怎么重启服务器?
如果在创建实例时没有设置密码,或者密码丢失,您可以在控制台上重新设置实例的登录密码。本文仅描述如何在 ECS 管理控制台上修改实例登录密码。
7251 0
深度解析开源推荐算法框架EasyRec的核心概念和优势
如何通过机器学习PAI实现快速构建推荐模型
338 0
【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析(交换排序-冒泡排序)
【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析(交换排序-冒泡排序)
3 0
【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析(分块查找)
【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析(分块查找)
3 0
阿里云服务器端口号设置
阿里云服务器初级使用者可能面临的问题之一. 使用tomcat或者其他服务器软件设置端口号后,比如 一些不是默认的, mysql的 3306, mssql的1433,有时候打不开网页, 原因是没有在ecs安全组去设置这个端口号. 解决: 点击ecs下网络和安全下的安全组 在弹出的安全组中,如果没有就新建安全组,然后点击配置规则 最后如上图点击添加...或快速创建.   have fun!  将编程看作是一门艺术,而不单单是个技术。
8947 0
【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析(AVL树)
【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析(AVL树)
14 0
【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析(Trie树)
【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析(Trie树)
10 0
【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析(线段树)
【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析(线段树)
13 0
【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析 for和foreach性能分析
【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析 for和foreach性能分析
11 0
【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析(树)
【愚公系列】2021年11月 C#版 数据结构与算法解析(树)
7 0
+关注
愚公搬代码
该博客包括:.NET、前端、IOS、Android、Linux、物联网、网络安全、python、大数据等相关使用及进阶知识。查看博客过程中,如有任何问题,皆可随时沟通。
150
文章
0
问答
文章排行榜
最热
最新
相关电子书
更多
《Nacos架构&原理》
立即下载
《看见新力量:二》电子书
立即下载
云上自动化运维(CloudOps)白皮书
立即下载