拓扑排序
AOE网
- 在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，边上的权值表示活动的持续时间，称这样的有向图叫做边表示活动的网，简称AOE网。AOE网中没有入边的顶点称为始点（或源点），没有出边的顶点称为终点（或汇点）。
AOE网的性质
- 只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各活动才能开始；
- 只有在进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生。
AOE网所能解决的问题
- 完成整个工程至少需要多少时间?
- 为缩短完成工程所需的时间, 应当加快哪些活动?
关键路径
关键路径长度是整个工程所需的 最短工期。
- 关键路径：在AOE网中，从始点到终点具有最大路径长度（该路径上的各个活动所持续的时间之和）的路径称为关键路径。
- 关键活动：关键路径上的活动称为关键活动。
术语
- 源点：表示整个工程的开始点，也称起点
- 收点：表示整个工程的结束点，也称汇点
- 事件结点：单位时间，表示的是时刻
- 活动（有向边）：它的权值定义为活动进行所需要的时间。方向表示起始结点事件先发生，而终止结点事件才能发生
- 事件的最早发生时间（Ve(j)）：从起点到本结点的最长的路径。意味着事件最早能够发生的时刻
- 事件的最迟发生时间（V l (j)）：不影响工程的如期完工，本结点事件必须发发生的时刻
- 活动的最早开始时间：e( ai ) = Ve( j )
- 活动的最迟开始时间：l( ai ) = V l( k ) - dut( j , k )
- 事件的最早发生时间（Ve(j)）：从起点到本结点的最长的路径。意味着事件最早能够发生的时刻
- 事件的最迟发生时间（V l (j)）：不影响工程的如期完工，本结点事件必须发发生的时刻
- 活动的最早开始时间：e(ai ) = Ve( j )
- 活动的最迟开始时间： l (ai ) = V l( k ) - dut( j , k )
- 关键活动：最早开始时间 ＝ 最迟开始时间的活动
- 关键路径：从源点到收点的最长的一条路径，或者全部由关键活动构成的路径
算法设计
- 事件(顶点) 的 最早发生时间 ve(j)
ve(j) = 从源点到顶点j的最长路径长度
- ve(源点) = 0
- **ve(j) = Max{ve(i) + dut(<i, j>)} (<i, j>∈T)**T是所有以第j个顶点为弧头的弧的集合
- 事件(顶点) 的 最迟发生时间 vl(k)
vl(k) = 从顶点k到汇点的最短路径长度
- vl(汇点) = ve(汇点)
- **vl(i) = Min{vl(j) – dut(<i, j>)} (<i, j>∈S)**S是所有以第i个顶点为弧尾的弧的集合
假设第 i 条弧为 <j, k>, 则 对第 i 项活动言:
- 活动(弧)”的 最早开始时间 e(i)
e(i) = ve(j) 活动(弧)的 最迟开始时间 l(i)
**l(i) = vl(k) – dut(<j,k>)**
算法要点
- 求ve的顺序应该是按拓扑有序的次序
- 求vl的顺序应该是按拓扑逆序的次序
- 拓扑逆序序列即为拓扑有序序列的逆序列，应该在拓扑排序的过程中，另设一个 “栈” 记下拓扑有序序列
算法实现
Status TopologicalOrder(ALGraph G, SqStack &T){
FindInDegree(G, indegree); // 对各顶点求入度
InitStack(S);
InitStack(T);
for(i = 0; i < G.vexnum; i++)
if(!indegree[i]) Push(S, i);
count = 0; // 对输出顶点计数
for(i = 0; i < G.vexnum; i++)
ve[i] = 0;
while(!StackEmpty(S)){
Pop(S, j);
Push(T, j);
++count;
for(p = G.vertices[j].firstarc; p; p = p->nextarc){
k = p->adjvex;
if(!(--indegree[k])) Push(S, k);
if(ve[j] + *(p->info) > ve[k])
// 修改ve[j]
ve[k] = ve[j] + *(p->info);
}
}
if(count < G.vexnum){
cout << "图中有回路!";
return ERROR;
}
}
void Criticalpath(ALGraph G){
// G为有向网络，输出G的各项关键活动
for(i = 0; i < G.vexnum; i++)
vl[i] = ve[G.vexnum - 1]
while(!StackEmpty(T))
for(Pop(T, j), p = G.vertices[j].firstarc; p; p = p->nextarc){
k = p->adjvex;
dut = *(p->info);
if(vl[k] - dut < vl[j])
vl[j] = vl[k] - dut;
// dut是事件vj到事件vk活动的持续时间
}
for(j = 0; j < G.vexnum; ++j){
// 求活动的最早开始时间ee、最迟开始时间el和关键活动
for(p = G.vertices[j].firstarc; p; p = p->nextarc){
k = p->adjvex;
dut = *(p->info);
ee = ve[j];
el = vl[k] - dut;
tag = (ee == el)?'*':' ';
cout << j << " " << k << " " << dut <<" "
<< ee << " " << el << " " << tag << endl;
}
}
}