最短路径

• 典型用途：交通问题。如：城市A到城市B有多条线路，但每条线路的交通费（或所需时间）不同，那么，如何选择一条线路，使总费用（或总时间）最少？
• 问题抽象：在带权有向图中A点（源点）到达B点（终点）的多条路径中，寻找一条各边权值之和最小的路径，即最短路径。

最短路径与最小生成树不同，路径上不一定包含n个顶点

两种常见最短路径问题

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法 —— 单源最短路径

算法思想

把图中顶点集合分成两组：
第一组为已求出其最短路径的顶点集合S
第二组为尚未确定最短路径的顶点集合U

1. 初始时，S只包含源点，S={v}，U包含除v外的其他顶点；
2. 从U中选取一个距离最小的顶点k，把k加入到S中；
3. 以k作为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；
4. 重复步骤 2、3 直到所有顶点都包含在S中

算法实现

算法流程图

C++代码实现

void ShortestPath_DIJ(AMGraph G, int v0){
    // 用Dijkstra算法求有向网G的v0顶点到其余顶点的最短路径 
    n = G.vexnum;  // G 中顶点个数
    for(v = 0; v < n; v++){
        // n 个顶点依次初始化
        S[v] = false;  // S 初始为空集
        D[v] = G.arcs[v0][v];  // 将v0到各个终点的最短路径长度初始化  
        if(D[v] < MaxInt) Path[v] = v0;  // v0和v之间有弧，将v的前驱置为v0
        else Path[v] = -1;  // 如果v0和v之间无弧，则将v的前驱置为-1
    }
    S[v0] = true;  // 将v0加入S
    D[v0] = 0;  // 源点到源点的距离为0

    /*―开始主循环，每次求得v0到某个顶点v的最短路径，将v加到S集―*/
    for(i = 1; i < n; i++){
        // 对其余n-1个顶点，依次进行计算
        min = MaxInt;
        for(w = 0; w < n; w++)
            if(!S[w] && (D[w] < min)){
                v = w;
                min = D[w];  // 选择一条当前的最短路径，终点为v
            }
        S[v] = true;  // 将v加入S
        for(w = 0; w < n; w++)  // 更新从v0出发到集合V−S上所有顶点的最短路径长度
            if(!S[w] && ((D[v] + G.arcs[v][w]) < D[w])){
                D[w] = D[v] + G.arcs[v][w];  // 更新D[w]
                Path[w] = v;  // 更新w的前驱为v
            }
    }
}

Floyd（弗洛伊德）算法 —— 所有顶点间的最短路径

每一对顶点之间的最短路径
方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次—— T(n)=O(n³)
方法二：弗洛伊德(Floyd)算法
算法思想：逐个顶点试探法

算法思想

• 初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧<Vi,Vj>，则对应元素为权值；否则为∞
• 逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值。
• 所有顶点试探完毕，算法结结束

算法实现

typedef int Pathmatirx[MAXVEX][MAXVEX]
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX]

/*- Floyd算法，求网图G中各顶点v到其余顶点w最短路径P[v][w]及带权长度D[v][w] -*/
void ShrotestPath_Floyd(MGraph G, Pathmatirx* P, ShortPathTable* D){
    int v, w, k;
    for(v = 0; v < G.numVertexes; ++v){
        // 初始化D与P
        for(w = 0; w < G.numVertexes; ++w){
            (*D)[v][w] = G.matirx[v][w];  // D[v][w]值即为对应点间的权值
            (*P)[v][w] = w;  // 初始化P

        }
    }

    for(k = 0; k < G.numVertexes; ++k)
        for(v = 0; v < G.numVertexes; ++v)
            for(w = 0; w < G.numVertexes; ++w)
                if((*D)[v][w] > (*D)[v][k] + (*D)[k][w]){
                    // 如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短
                    // 将当前两点间权值设为更小的一个
                    (*D)[v][w] = (*D)[v][k] + (*D)[k][w];
                    (*P)[v][w] = (*P)[v][k];  // 路径设置为经过下标为k的顶点
                }
}