引言
梯度下降法 (Gradient Descent Algorithm，GD) 是为目标函数J(θ)，如代价函数(cost function), 求解全局最小值（Global Minimum）的一种迭代算法。本文会详细讨论按照准确性和耗费时间（accuracy and time consuming factor）将梯度下降法进行分类。这个算法在机器学习中被广泛用来最小化目标函数，如下图所示。
为什么使用梯度下降法
α表示学习速率（learning rate）。
在本文中，考虑使用线性回归（linear regression）作为算法实例，当然梯度下降法也可以应用到其他算法，如逻辑斯蒂回归（Logistic regression）和 神经网络（Neural networks）。在线性回归中，我们使用如下拟合函数（hypothesis function）:
其中， 
代价函数(普通的最小平方差，ordinary least square error)如下所示：
代价函数的梯度（Gradient of Cost function）：
参数与代价函数关系如下图所示：
梯度下降法的工作原理
梯度下降法的类型
基于如何使用数据计算代价函数的导数，梯度下降法可以被定义为不同的形式（various variants）。确切地说，根据使用数据量的大小（the amount of data），时间复杂度（time complexity）和算法的准确率（accuracy of the algorithm），梯度下降法可分为：
1. 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent, BGD）；
2. 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent, SGD）；
3. 小批量梯度下降法（Mini-Batch Gradient Descent, MBGD）。
批量梯度下降法原理
其中，m是训练样本（training examples）的数量。
Note:
1. 如果训练集有3亿条数据，你需要从硬盘读取全部数据到内存中；
2. 每次一次计算完求和后，就进行参数更新；
3. 然后重复上面每一步；
4. 这意味着需要较长的时间才能收敛；
5. 特别是因为磁盘输入/输出（disk I/O）是系统典型瓶颈，所以这种方法会不可避免地需要大量的读取。
上图是每次迭代后的等高线图，每个不同颜色的线表示代价函数不同的值。运用梯度下降会快速收敛到圆心，即唯一的一个全局最小值。
批量梯度下降法不适合大数据集。下面的Python代码实现了批量梯度下降法：
1. import numpy as np
2. import random
3. def gradient_descent(alpha, x, y, ep=0.0001, max_iter=10000):
4. converged = False
5. iter = 0
6. m = x.shape[0] # number of samples
7.
8. # initial theta
9. t0 = np.random.random(x.shape[1])
10. t1 = np.random.random(x.shape[1])
11.
12. # total error, J(theta)
13. J = sum([(t0 + t1*x[i] - y[i])**2 for i in range(m)])
14.
15. # Iterate Loop
16. while not converged:
17. # for each training sample, compute the gradient (d/d_theta j(theta))
18. grad0 = 1.0/m * sum([(t0 + t1*x[i] - y[i]) for i in range(m)])
19. grad1 = 1.0/m * sum([(t0 + t1*x[i] - y[i])*x[i] for i in range(m)])
20. # update the theta_temp
21. temp0 = t0 - alpha * grad0
22. temp1 = t1 - alpha * grad1
23.
24. # update theta
25. t0 = temp0
26. t1 = temp1
27.
28. # mean squared error
29. e = sum( [ (t0 + t1*x[i] - y[i])**2 for i in range(m)] )
30.
31. if abs(J-e) <= ep:
32. print 'Converged, iterations: ', iter, '!!!'
33. converged = True
34.
35. J = e # update error
36. iter += 1 # update iter
37.
38. if iter == max_iter:
39. print 'Max interactions exceeded!'
40. converged = True
41.
42. return t0,t1 随机梯度下降法原理
这里m表示训练样本的数量。
如下为随机梯度下降法的伪码：
1. 进入内循环（inner loop）;
2. 第一步：挑选第一个训练样本并更新参数，然后使用第二个实例；
3. 第二步：选第二个训练样本，继续更新参数；
4. 然后进行第三步…直到第n步；
5. 直到达到全局最小值
如下图所示，随机梯度下降法不像批量梯度下降法那样收敛，而是 游走到接近全局最小值的区域终止。
小批量梯度下降法原理
小批量梯度下降法是最广泛使用的一种算法，该算法每次使用m个训练样本（称之为一批）进行训练，能够更快得出准确的答案。小批量梯度下降法不是使用完整数据集，在每次迭代中仅使用m个训练样本去计算代价函数的梯度。一般小批量梯度下降法所选取的样本数量在50到256个之间，视具体应用而定。
1.这种方法减少了参数更新时的变化，能够更加稳定地收敛。
2.同时，也能利用高度优化的矩阵，进行高效的梯度计算。
随机初始化参数后，按如下伪码计算代价函数的梯度：
