动态规划——背包问题1:01背包

简介: 背包问题是动态规划中的一个经典题型,其实,也比较容易理解。当你理解了背包问题的思想,凡是考到这种动态规划,就一定会得很高的分。 背包问题主要分为三种:01背包    完全背包    多重背包 其中,01背包是最基础的,最简单的,也是最重要的。

背包问题是动态规划中的一个经典题型,其实,也比较容易理解。

当你理解了背包问题的思想,凡是考到这种动态规划,就一定会得很高的分。

 

背包问题主要分为三种:

01背包    完全背包    多重背包

 

其中,01背包是最基础的,最简单的,也是最重要的。

因为其他两个背包都是由01背包演变而来的。所以,学好01背包,对接下来的学习很有帮助。

 

废话不多说,我们来看01背包。

 

01 背包问题:给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包,物品 i 的重量是 wi,其价值为 vi 。

问:应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中的物品的总价值最大?

 

第一眼看上去,我们会想到贪心(背包问题还不会QAQ)。

用贪心算法来看,流程是这样的:

1.排序,按价值从大到小排序

2.选价值尽可能大的物品放入。

 

但是,贪心做这题是错的。

 

让我们举个反例:

n=5,C=10
             重量          价值
第一个物品:    10            5
第二个物品:    1             4
第三个物品:    2             3
第四个物品:    3             2
第五个物品:    4             1

 

用贪心一算。答案是5,但正解是用最后4个,价值总和是10.

 

那将重量排序呢?

其实也不行。

稍微一想就想到了反例。

 

我们需要借助别的算法。

贪心法用的是一层循环,而数据不保证在一层循环中得解,于是,我们要采用二层循环。

这也是背包的思想之一。

 

来看背包算法:

1.用二维数组dp [ i ] [ j ],表示在面对第 i 件物品,且背包容量为  j 时所能获得的最大价值 

比如说上面的那个反例:

dp [ 1 ] [ 3 ] = 4 + 3 = 7.

2.01背包之所以叫“01”,就是一个物品只能拿一次,或者不拿。

那我们就分别来讨论拿还是不拿。

(1)j < w[i] 的情况,这时候背包容量不足以放下第 i 件物品,只能选择不拿

dp [ i ] [ j ] = dp [ i - 1 ] [ j ];

(2)j>=w[i] 的情况,这时背包容量可以放下第 i 件物品,我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

~如果拿取,dp [ i ] [ j ] = dp [ i - 1 ] [ j - w [ i ] ] + v [ i ]。 这里的dp [ i - 1 ] [ j - w [ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品,背包容量为 j-w[i] 时的最大价值,也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。

 

~如果不拿,dp [ i ] [ j ] = dp [ i-1 ] [ j ]

到底拿不拿呢?要看拿与不拿那个结果更大了。

 

看,这用到了动态规划的思想:在求值时会用到之前状态的结果。

 

我们就可以得出状态转移方程了。

 

1 if(j>=w[i])
2     dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
3 else 
4     dp[i][j] = dp[i-1][j];

 

 于是,完整代码就出来了:

code:

 1 int n,c,w[1001],v[1001];
 2 int dp[1001][1001];
 3 cin>>n>>c;
 4 for(int i=1;i<=n;i++)
 5     cin>>w[i]>>v[i];
 6 for(int i=1;i<=n;i++) //物品 
 7 {        
 8     for(int j=1;j<=c;j++)  //从一枚举到C      
 9     {            
10         if(j>=w[i])                
11             dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);  //最大值            
12         else                
13             dp[i][j]=dp[i-1][j];       
14     }    
15 }
16 cout<<dp[n][c]<<endl;//n个物品,背包空间为c的dp值 

 

那么,这是二维的01背包,可以看出,数组受空间限制,不能开太大,所以,我们还有一种优化01背包,只有一维的数组

 

先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..N,每次算出来二维数组dp[ i ] [ 0..V ]的所有值。那么,如果只用一个数组dp [ 0..V ],能不能保证第i次循环结束后dp[ v ]中表示的就是我们定义的状态dp [ i ] [ v ]呢?dp[ i ][ v ]是由dp[ i-1 ][ v ]和dp[ i-1 ][ v-c[i] ]两个子问题递推而来,能否保证在推dp[ i ][ v ]时(也即在第i次主循环中推dp[ v ]时)能够得到dp[ i-1 ][ v ]和dp[ i-1 ][ v-c[i] ]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推dp[ v ],这样才能保证推dp[ v ]时dp[ v-c[i] ]保存的是状态dp[ i-1 ][ v-c[i] ]的值。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了dp[ i ][ v ]由dp[ i ][ v-c[ i ] ]推知,与本题意不符,但它却是完全背包最简捷的解决方案,故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

1 for(int i=1;i<=n;i++)
2 {
3     for(int v=c;v>=0;v--)
4     {
5         dp[v]=max(dp[v],dp[v-c[i]]+w[i]);
6     }
7 }

这就是代码,相比上面的简洁了许多,既优化了空间,又减少了代码长度。

 

这就是01背包问题,其实真没啥难度,记下模板都能过。

 

上面的讲解应该很详细了,大家多看几遍,应该是可以理解的。

我们下次将讲解完全背包和多重背包问题,我们下次见。

 

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