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2018-08-14 1286

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简介： 深层网络一般很难训练，要么梯度弥散要么梯度爆炸。但是我们考虑这样一个事实：假设我们有一个浅层网络，网络是很同意训练的。现在我们不断增加新层来建立深层网络，一个极端的情况是增加的层什么也不学习，仅仅只是拷贝浅层的输出，即这样的新层是恒等映射（Identity mapping）。

深层网络一般很难训练，要么梯度弥散要么梯度爆炸。但是我们考虑这样一个事实：假设我们有一个浅层网络，网络是很同意训练的。现在我们不断增加新层来建立深层网络，一个极端的情况是增加的层什么也不学习，仅仅只是拷贝浅层的输出，即这样的新层是恒等映射（Identity mapping）。这样网络至少可以和浅层一样，不应该出现退化的问题。残差学习的思路基于这个。
对于一个堆叠层结构，当输入为 $x$ 时候，学习到的特征记为 $H(x)$ ，现在我们希望可以学习到残差 $F(x) = H(x) - x$ ，这样其实原始的学习特征为 $F(x) + x$ 。之所以这样是因为残差学习相比原始特征直接学习更容易。当残差为0时，此时堆叠层仅仅做了恒等映射，至少网络性能不会下降。事实上，残差不可能为0，这样堆叠层就会在输入特征基础上学习到新的特征。残差单元如图所示。

为什么残差学习相对更容易，从直观上来看残差学习需要学习的内容少，因为残差一般比较小，学习难度小点。从数学角度来说，首先残差单元可以表示成：

y_l = h(x_l) + F(x_l,W_l)

x_{l+1} = f(y_1)

其中， $x_l$ 和 $x_{l+1}$ 分别表示第 $l$ 个残差单元的输入和输出（ps：每个残差单元一般包含多层结构）。 $F$ 是残差函数，表示学习到的残差，而 $h(x_l) = x_l$ 表示恒等映射， $f$ 是relu激活函数。基于上式，我们求得从浅层 $l$ 到深层 $L$ 的学习特征为：
$x_L = x_l + \sum\limits_{i=l}^{L-1}F(x_i,W_i)$
链式求导可知：
$\frac{\partial Loss}{\partial x_l} = \frac{\partial Loss}{\partial x_L} . \frac{\partial x_L}{\partial x_l} = \frac{\partial Loss}{\partial x_L} . (1 + \frac{\partial \sum\limits_{i=l}^{L-1}F(x_i,W_i)}{\partial x_l})$

公式中的第一个因子 $\frac{\partial Loss}{\partial x_L}$ 表示损失函数到达L的梯度，小括号中的1表示短路机可以无损的传播梯度，而另外一项残差梯度则需要经过待遇weights的层，梯度不是直接传过来的。残差梯度不会那么巧全为-1，而且就算其比较小，有1的存在也不会导致梯度消失。所以残差学习会更容易。
吴恩达说 $a^{l+2} = g(z^{[l+2]} + a^{[l]}) = g(w^{[l+2]} \times a^{[l+1]} + b^{[l+2]}+ a^{[l]})$ ，激活函数用的relu，如果 $z^{[l+2]}$ 为负数，那么前面这块为0，只剩下 $a^{[l]}$ ，只是把 $a^{[l]}$ 赋值给 $a^{[l+2]}$ ，首先对网络性能没有什么影响，然后 $a^{[l]}$ 到 $a^{[l+2]}$ 这段的网络还可能学到一些特征。如果 $a^{[l]}$ 和 $a^{[l+2]}$ 的维度不相同，比如， $a^{[l+2]}$ 为256维， $a^{[l]}$ 为128维，那么增加一个 $w_s$ ，它为[256, 128]维， $w_s \times a^{[l]}$ 就可以得到需要输出的维度。
至于resnet的结构，我就不说了，这个没啥好讲的。
感谢这位博主的博客[https://zhuanlan.zhihu.com/p/31852747]。