椭圆型变分问题理论及数值方法

张少杰 浙江大学数学科学学院

目录

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1.前言

​ 变分不等式是一类重要的非线性问题，一些复杂的物理过程可以用变分不等式在描述. 本文主要基于《Theoretical Numerical Analysis》${}^{[1]}$的第11章. 同时参考$[2],[3]$整理而成.

​ 对于椭圆型偏微分方程，往往使用有限元方法计算其数值解. 正如冯康院士首次发现有限元方法时称之为基于变分原理的差分方法，研究椭圆型变分不等式(elliptic variational inequalities, EVIs)至关重要. 椭圆型变分不等式根据其物理学背景，往往具有较好的性质. 因此可以研究其解的存在性，唯一性，稳定性等.

2.由椭圆型方程到变分不等式

​ 椭圆型偏微分方程和变分不等式存在广泛的联系. 对于实际的物理问题，则又会与能量泛函的极小化等价.

2.1简单情况

​ 考虑最经典的椭圆型偏微分方程，即Poisson方程

$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} -\Delta u = f, &\qquad \mathrm{in}\;\Omega, \\ u=0,&\qquad \mathrm{on}\;\Gamma, \end{aligned} \right. \end{equation} $$

其中$\Omega\subset \R^d$. 给定测试函数空间为$H^1_0(\Omega)$，有下面的弱形式

$$ u\in H_0^1(\Omega)\qquad \int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v \;dx = \int_\Omega fv dx,\qquad\forall v\in H^1_0(\Omega). $$

由Lax-Margin引理，可得问题$(2)$有唯一解. 进一步还可以得到问题$(2)$等价于极小化问题

$$ u\in H_0^1(\Omega),\qquad E(u)=\inf_{v\in H^1_0(\Omega)} E(v) $$

其中

$$ E(v) = \int_\Omega \left( \frac12|\nabla v|^2-fv \right)dx. $$

这是因为

$$ \begin{aligned} E'(u)v = \lim_{t\to0}\frac{E(u+tv)-E(u)}t=\int_{\Omega}(\nabla u\cdot\nabla v-fv)dx. \end{aligned} $$

这说明$E$在$u$处取到泛函的极值. 又有

$$ \begin{aligned} E''(u)(v,w) = \lim_{t\to0}\frac{\int_\Omega[\nabla(u+tw)\nabla v-fv]dx- \int_\Omega[\nabla u\nabla v-fv]dx}{t} = \int_\Omega\nabla v\cdot\nabla w\;dx \end{aligned} $$

根据$\displaystyle \int_\Omega (\nabla v)^2\;dx>0$，及$E(u+tv)=E(u)+\frac12t^2\displaystyle \int_\Omega (\nabla v)^2\;dx$，可知$E$在$u$处取到的最小值.

2.2障碍问题

​ 障碍问题描述的是一张弹性膜，在区域$\Omega$上收到力$f$，且膜沿边界$\Gamma$是固定的(可令$u=0 \;\mathrm{on}\;\Gamma$)，障碍函数为$\psi$.

​ 由力学中的能力最小原理可知，位移$u$是能量最小时膜的位置，能力泛函$E$由等式$(4)$给定. 故障碍问题可以表述为

$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &求u\in K,\qquad 使得\\ &E(u)\le E(v),\qquad \forall v\in K \end{aligned} \right. \end{equation} $$

其中

$$ \begin{aligned} & K = \{v \in H^1_0(\Omega):v\ge\psi \;\; \mathrm{a.e. \,in\,}\Omega\}, \\ & \psi \in H^2(\Omega) ,\qquad \psi \le0 \;\mathrm{on} \;\Omega,\qquad f\in L^2(\Omega). \end{aligned} $$

同之前，由$E'(u)(v-u)\ge 0$可得变分不等式

$$ u\in K,\qquad \int_\Omega \nabla u\nabla(v-u) dx\ge \int_\Omega f(v-u)dx,\qquad\forall v\in K $$

​ 令$v=u+\phi$，即有$\phi\in C_0^\infty(\Omega)$. 由分部积分公式可得

$$ \begin{aligned} \int_{\Omega} (-\Delta u-f)\phi \;dx\ge0,\qquad \phi\ge 0\;\mathrm{in} \;\Omega \end{aligned} $$

现将$\Omega$分为非接触区域和接触区域：

$$ \begin{aligned} \Omega^+=\{x\in\Omega:u(x)>\psi(x)\}, \\ \Omega^0=\{x\in\Omega:u(x)=\psi(x)\}, \end{aligned} $$

即有$-\Delta u-f\ge 0,\forall x\in\Omega^0$. 当$x\in \Omega^+$时，用$-\phi$替代$\phi$，可得反向的变分不等式成立，因此有$-\Delta u-f=0$.

​ 综上，障碍问题的变分不等式$(5)$对应的微分边值问题为：

$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &-\Delta u=f,\qquad \mathrm{on}\;\Omega^+\\ &-\Delta u\ge f,\qquad \mathrm{on}\;\Omega^0\\ &u\ge \psi,\qquad\qquad \mathrm{on} \;\Omega,u=0,\forall x\in \partial\Omega \end{aligned} \right. \end{equation} $$

2.3非齐次Neumann问题

​ 考虑检测函数空间$V=H^1(\Omega)$，能量泛函为

$$ \begin{aligned} E(v)=\int_\Omega \left[ \frac12(|\nabla v|^2+v^2)-fv\right]dx+g\int_\Gamma|v|fs \end{aligned} $$

其中$g>0,f\in L^2(\Omega)$给定. 注意到的是，该能量泛函不可微.

​ 则泛函极小化问题

$$ u\in V\qquad E(u)=\inf_{v\in V}E(v) $$

与下面的变分不等式问题等价,

$$ \begin{equation} \begin{aligned} u\in V,\qquad \int_\Omega [ \nabla u \cdot \nabla(v-u)&+u(v-u) ]dx+g\int_\Gamma(|v|-|u|)ds \\ &\ge \int_\Omega f(v-u)ds,\qquad \forall v\in V. \end{aligned} \end{equation} $$

证明同样是用到$G\hat ateaux$微分，见后面定理3.2.

​ 该问题相应的问题为：

$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & -\Delta u+u=f \qquad \mathrm{in}\;\Omega \\ &\left|\frac{\partial u}{\partial \nu}\right|\le g,\frac{\partial u}{\partial\nu }u+g|u|=0 \qquad \mathrm{on}\;\Gamma. \end{aligned} \right. \end{equation} $$

其边值条件等价于

$$ \begin{aligned} \left| \frac{\partial u}{\partial \nu}\right|

3.解的存在性与唯一性

​ 凸优化是处理很多椭圆型变分不等式的好途径. 有一个基本的定理为：

定理 3.1:

​ 若$K$是赋范空间$V$的非空凸子集，且$f:K\to\R$是凸的且$G\hat ateaux$可微的. 则存在$u\in K$使得

$$ \begin{aligned} f(u) = \inf_{v\in K} f(v) \end{aligned} $$

成立，当且仅当存在$u\in K$使得

$$ \begin{aligned} \left< f'(u),v-u\right> \ge 0,\qquad \forall v\in K \end{aligned} $$

当$K$为子空间时，不等式退化为等式

$$ \begin{aligned} \left< f'(u),v\right> = 0,\qquad \forall v\in K. \end{aligned} $$

​ 证明从略. 定理3.1可拓展为定理3.2，用于处理2.3节中的泛函不可微的情况.

定理 3.2：

​ 若$K$是赋范空间$V$的非空凸子集，且$f:K\to\R,\,j:K\to \R$是凸映射，$f$是$G\hat ateaux$可微的. 则

$$ u\in K,\qquad f(u)+j(u)=\inf_{v\in K}[f(v)+j(v)] $$

当且仅当

$$ u\in K,\qquad \left< f'(u),v-u \right> + j(v)-j(u) \ge 0,\qquad \forall v\in K. $$

证明：

​ 必要性：对任意$v\in K$和$t\in(0,1)$，有$u+t(v-u)=tv+(1-t)u\in K$，故

$$ \begin{aligned} f(u)+j(v) &\le f(u+t(v-u)) +j(u+t(v-u)) \\ &\le f(u+t(v-u)) +(1-t)j(u)+tj(v). \end{aligned} $$

即

$$ \begin{aligned} \frac1t \left[ f(u+t(v-u))-f(u) \right] +j(v)-j(u)\qquad \forall t\in(0,1) \end{aligned} $$

再使$t\rightarrow 0^+$，则有$(12)$式成立.

​ 充分性：由于$f$是凸函数，故

$$ \begin{aligned} f(v)\ge f(u)+\left< f'(u) ,v-u\right>. \end{aligned} $$

从而对任意$v\in K$，

$$ \begin{aligned} f(v)+j(v)&\ge f(u)+j(v)+\left< f'(u) ,v-u\right> \\ &\ge f(u)+j(u) \end{aligned} $$

​ $\Box$

​ 若赋予更强的条件，比如将$\displaystyle\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\;dx$看作双线性泛函$a(u,v)$，其满足椭圆性条件，则根据Lax-Mligram引理（见附录），则还可以第2节的三个问题的解都具有唯一性.

4. 一族EVIs的解的存在唯一性

首先给定以下定义

• strongly monotone：$A:V\rightarrow V$满足，存在$c_0>0$使得

$$ (A(u)-A(v),u-v)\ge c_0||u-v||^2,\qquad \forall u,v \in V. $$

• Lipschitz连续：$A:V\rightarrow V$满足，存在$M>0$使得

$$ ||A(u)-A(v)||\le M||u-v||,\qquad \forall u,v\in V. $$

• lower semi-continous($l.s.c.$)：$j:V\rightarrow \overline \R\equiv R\cup\{\pm\infty\}$满足

$$ v_n\overset{n\to\infty}\longrightarrow v \;\mathrm{in}\; V\quad\Longrightarrow\quad j(v)\le\liminf_{n\rightarrow\infty} j(v_n). $$

定理 4.1：¹

​ 令$V$是实Hilbert空间，$K$是$V$的非空闭凸集. 设$A:V\rightarrow V$是srtongly monotone且Lipschitz连续，$j:K\rightarrow \R$是凸的且$l.s.c.$，则对任意$f\in V$，椭圆性变分不等式

$$ u\in K,\qquad (A(u),v-u) + j(v)-j(u) \ge (f,v-u),\qquad \forall v\in K, $$

有唯一解，且解$u$关于$f$是Lipschitz连续的.

​ 称形如$A(u,v-u)\ge(f,v-u)$的变分不等式为第一类变分不等式，而对于形如$(16)$含有不可微分项的变分不等式为第二类变分不等式，例如2.3节中给出的例子.

​ 在对变分不等式数值解法收敛性的分析中，Minty引理十分重要.

定理4.2：(Minty Lemma)

​ 假设定理4.1中的条件成立，在有限维空间中$A$的Lipschitz连续条件减弱为连续性条件，

附录

Lax-Milgram 引理

设$\mathbb V$是Hilbert空间，$a(\cdot,\cdot):\mathbb V\times \mathbb V \rightarrow \mathbb R$，是一个连续的双线性泛函，且满足椭圆性条件(也称强制性条件)：

$$ \begin{aligned} \exist \delta_0 > 0,\qquad \text{使得} a(u,u) \ge \delta_0||u||^2,\qquad \forall u \in \mathbb V, \end{aligned} $$

又设$f:\mathbb V\rightarrow \mathbb R$是一个连续的线性泛函，则抽象变分问题

$$ \left \{ \begin{aligned} & 求u \in \mathbb V，使得 \\ & a(u,v) = f(v) ,\qquad \forall v \in \mathbb V \end{aligned} \right . $$

存在唯一解.

证：由双线性泛函的连续性可知，存在常数$\delta_1>0$使得

$$ a(u,v)\le \delta_1||u||\cdot||v||,\qquad \forall u,v\in\mathbb V. $$

对任意$u in mathbb V​$，由$vinmathbb V mapsto a(u,v)​$是连续线性泛函知，存在唯一的$A(u)in mathbb V^*​$，使得

$$ \begin{aligned} A(u)v = a(u,v) ,\quad \forall v\in \mathbb V. \end{aligned} $$

易知，$A$是由$\mathbb V$到其对偶空间$\mathbb V^*$的有界线性映射，且

$$ \begin{aligned} ||A||_{\mathfrak{L}(\mathbb V,\mathbb V^*)} \triangleq \sup_{u\in \mathbb V,\,||u||=1}||A(u)||_{\mathbb V^*} = \sup_{u\in \mathbb V,\,||u||=1} \sup_{v\in \mathbb V,\,||v||=1}|A(u)v| \le \delta_1. \end{aligned} $$

记$tau : mathbb V^* rightarrow mathbb V​$为Riesz映射. 由定义有

$$ \begin{aligned} f(v)= \langle \tau f,v \rangle ,\quad \forall v\in \mathbb V, \end{aligned} $$

其中$langle cdot ,cdotrangle​$为$mathbb V​$上的内积。于是求解的问题等价于求解以下的问题：

$$ \left \{ \begin{aligned} & \text{求}u\in\mathbb V,\,\text{使得} \\ & \tau A(u)=\tau f. \\ \end{aligned} \right. $$

定义映射

$$ \begin{aligned} &F:\mathbb V\rightarrow\mathbb V, \\ &F(v)=v-\rho(\tau A(v)-\tau f), \\ \end{aligned} $$

其中$rho>0​$为待定参数，则求解问题的解等价于求$F(cdot)​$ 的不动点. 有

$$ \begin{aligned} &\langle \tau A(v),v \rangle =A(v)v =a(v,v) \ge \delta_0 ||v||^2, \\ &||\tau A(v)|| =||A(v)||_{\mathbb V^*} \le ||A||_{\mathfrak{L}(\mathbb V,\mathbb V^*)} ||v|| \le \delta_1 ||v|| . \\ \end{aligned} $$

因此，对任意给定的$\rho \in (0,2 \delta_0 / \delta_1^2)$，有

$$ \begin{aligned} || F(w+v) -F(w) || ^2 &= ||v||^2 -2\rho \langle \tau A(v),v \rangle +\rho^2 || \tau A(v) ||^2 \\ &\le (1-2\rho\delta_0+\rho^2{\delta_1}^2)||v||^2 < ||v||^2 , \\ \end{aligned} $$

即$F:mathbb V rightarrow mathbb V​$为压缩映射. 由此及压缩映射原理知$F​$在$mathbb V​$中存在唯一的不动点，这就证明了解的唯一性.

参考文献

[1] Kendall Atkinson, and Weimin Han, Theoretical Numerical Analysis[M], Springer, 2009.
[2] 李治平, 偏微分方程数值解讲义[M], 北京大学出版社, 2010.
[3]王烈衡, 许学军, 有限元方法的数学基础, 科学出版社, 2004.