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PostgreSQL , 数独
背景
不知道什么时候开始数独游戏风靡起来了，数独游戏由一个N*N的矩阵组成，N必须是一个可以被开根的数值，例如4,9,16,25等。
任意一个像素，必须在三个方向上保证值唯一。这三个方向分别是X,Y,BOX。XY很好理解就是纵横的一条线（X,Y的像素个数就是N）。BOX指这个像素所在的BOX（BOX是由 (N的平方根)*(N的平方根) 个像素组成的矩阵）。
如图，一个9*9个像素的数独。（我把基数称为3）
1616的数独，16行，16列。同时分成44个BOX。（我把基数称为4）
那么如何生成一个有解的数独呢？
这个方法可行吗？
以下方法是按从左到右，从上到下的顺序来生成随机数的，看起来可行，实际上大多数情况下都无法生成有解数独，因为前面还比较容易满足条件，后面基本上就无法满足条件了。
create or replace function gen_sudoku(
dim int -- 基数
) returns int[] as $$
declare
res int[];
vloops int := 2 * (dim^5);
vloop int :=0;
ovloops int := 2 * (dim^5);
ovloop int :=0;
rand int;
begin
-- 初始化矩阵
select array( select (select array_agg(0) from generate_series(1,(dim^2)::int)) from generate_series(1,(dim^2)::int)) into res;
loop
-- 无法生成并返回
if ovloop >= ovloops then
raise notice '已循环%次，可能无法生成数独。', ovloop;
return res;
end if;
ovloop := ovloop+1;
<<outer>>
for x in 1..dim^2 loop
raise notice 'start again %', ovloop;
for y in 1..dim^2 loop
vloop := 0;
loop
-- 生成随机值
rand := 1+(random()*((dim^2)-1))::int;
-- 这轮循环无法生成并返回
if vloop >= vloops then
-- raise notice '1 %此数已循环%次，可能无法生成数独。', rand, vloop;
-- return res;
exit outer;
end if;
vloop := vloop+1;
-- 横向验证
perform 1 where array(select res[x][generate_series(1,(dim^2)::int)]) && array[rand];
if found then
--raise notice '2 %此数已循环%次，可能无法生成数独。%', rand, vloop, array(select res[x][generate_series(1,(dim^2)::int)]) ;
continue;
end if;
-- 纵向验证
perform 1 where array(select res[generate_series(1,(dim^2)::int)][y]) && array[rand];
if found then
--raise notice '3 %此数已循环%次，可能无法生成数独。%', rand, vloop, array(select res[generate_series(1,(dim^2)::int)][y]);
continue;
end if;
-- BOX验证
perform 1 where array(select res[xx][yy] from (select generate_series(((((x-1)/dim)::int)*dim)+1, ((((x-1)/dim)::int)*dim)+dim) xx) t1, (select generate_series(((((y-1)/dim)::int)*dim)+1, ((((y-1)/dim)::int)*dim)+dim) yy) t2) && array[rand];
if found then
--raise notice '4 %此数已循环%次，可能无法生成数独。%', rand, vloop, array(select res[xx][yy] from (select generate_series(((((x-1)/dim)::int)*dim)+1, ((((x-1)/dim)::int)*dim)+dim) xx) t1, (select generate_series(((((y-1)/dim)::int)*dim)+1, ((((y-1)/dim)::int)*dim)+dim) yy) t2);
continue;
end if;
-- 通过验证
res[x][y] := rand;
raise notice 'res[%][%] %', x, y, rand;
-- 跳出循环
exit;
end loop;
end loop;
end loop;
end loop;
return res;
end;
$$ language plpgsql strict;
以上方法最大的问题是，因为是左右，前后顺序在生成数独，实际上越到后面，会导致可以填充的满足XYB约束值越少，甚至没有。
为了尽可能的每次填充的值都有较大概率，可以在生成顺序上进行调整，不使用从左到右，从上到下的方法。
而是每一步都选择在XYB方向上还有最大概率（即最多没有填充的值）的像素。（我不清楚下围棋先占4个角，是不是也是同样的道理？）
如何找到每个像素在XYB维度上还有多少个未填充的值？
输入一个矩阵，得到另一个矩阵，表示当前位置在XYB轴的未填充值的个数。（非空值的xyb返回x,y,0,0,0）因为非空值不需要再填充它，所以无所谓。
1、首先要创建一个类型，包括数独矩阵的 X,Y坐标。以及这个坐标的横、竖、BOX三个方向上的剩余未填充值的个数。
create type xyb as (
ax int, -- 横坐标
ay int, -- 纵坐标
x int, -- 横向还有多少未填充像素
y int, -- 竖向还有多少未填充像素
b int -- BOX内还有多少未填充像素
);
2、编写一个函数，用来计算一个为完成数独矩阵，其每一个像素的XYB值。
create or replace function comp_xyb(
int[], -- 包含一些值的数独二维矩阵，当像素值为0时，表示这个值没有填充
int -- 数独的基数（比如2,3，。。。），3就是常见的9*9数独，4就是16*16数独。
)
returns xyb[] -- 返回一个复合类型的数组矩阵，矩阵像素和输入矩阵一样，每个像素表示这个像素在XYB轴上还有多少个没有填充的值（没有填充的值用0表示）
as $$
declare
dims int := ($2)^2; -- 基数的平方，表示行、列、BOX的像素个数。也是每个方向上的矩阵标记上限
res xyb[]; -- 结果
vx int; -- 横向还有多少未填充像素
vy int; -- 竖向还有多少未填充像素
vb int; -- BOX内还有多少未填充像素
lx int; -- box的X方向矩阵下标
ux int; -- box的X方向矩阵上标
ly int; -- box的Y方向矩阵下标
uy int; -- box的Y方向矩阵上标
begin
-- 初始化矩阵
select array (
select array( select format('(%s,%s,0,0,0)', x, y) from generate_series(1,dims) t(y))
from (select generate_series(1, dims) x) t
)
into res;
-- X坐标
for x in 1..dims loop
-- Y坐标
for y in 1..dims loop
-- 如果这个像素的值不等于0，说明已经是一个已经填充过的像素，返回0,0,0
if ($1)[x][y] <> 0 then
-- 不计算已填充了非0值的像素
continue;
else
-- x，计算X方向有多少个未填充的像素
select sum(case arr when 0 then 1 else 0 end) from
(select ($1)[x][generate_series(1, dims)] as arr) t
into vx;
-- y，计算Y方向有多少个未填充的像素
select sum(case arr when 0 then 1 else 0 end) from
(select ($1)[generate_series(1, dims)][y] as arr) t
into vy;
-- b，计算BOX内有多少个未填充的像素
-- x下限
lx := ((x-1)/$2)::int * $2 + 1;
-- x上限
ux := ((x-1)/$2)::int * $2 + $2;
-- y下限
ly := ((y-1)/$2)::int * $2 + 1;
-- y上限
uy := ((y-1)/$2)::int * $2 + $2;
-- 计算BOX内有多少个未填充的像素
select sum(case arr when 0 then 1 else 0 end) from
(select ($1)[xx][yy] as arr from
(select generate_series(lx,ux) xx) t1, (select generate_series(ly,uy) yy) t2
) t into vb;
-- 将XYB的值，写入结果变量的对应像素中
res[x][y] := format('(%s,%s,%s,%s,%s)',x,y,vx,vy,vb)::xyb;
end if;
end loop;
end loop;
return res;
end;
$$ language plpgsql strict immutable;
3、用法举例
计算以下2为基数，4*4的矩阵的xyb值
{1,2,3,4},
{0,1,1,0},
{0,1,1,0},
{0,1,1,0}
postgres=# select array(select (comp_xyb('{{1,2,3,4},{0,1,1,0},{0,1,1,0},{0,1,1,0}}', 2))[x][generate_series(1,4)]) from generate_series(1,4) t(x);
array
-----------------------------------------------------------
{"(1,1,0,0,0)","(1,2,0,0,0)","(1,3,0,0,0)","(1,4,0,0,0)"}
{"(2,1,2,3,1)","(2,2,0,0,0)","(2,3,0,0,0)","(2,4,2,3,1)"}
{"(3,1,2,3,2)","(3,2,0,0,0)","(3,3,0,0,0)","(3,4,2,3,2)"}
{"(4,1,2,3,2)","(4,2,0,0,0)","(4,3,0,0,0)","(4,4,2,3,2)"}
(4 rows)
使用unnest可以解开，按XYB三个方向总大小排序，再按某个方向最大排序，从而做到逐级收敛，真正每一次填充的像素，都是具备最大概率的像素。
postgres=# select * from
unnest(
comp_xyb('{{1,2,3,4},{0,1,1,0},{0,1,1,0},{0,1,1,0}}', 2)
) t
where
t.x+t.y+t.b <> 0
order by
(t.x+t.y+t.b) desc,
greatest(t.x,t.y,t.b) desc;
ax | ay | x | y | b
----+----+---+---+---
3 | 1 | 2 | 3 | 2
3 | 4 | 2 | 3 | 2
4 | 1 | 2 | 3 | 2
4 | 4 | 2 | 3 | 2
2 | 1 | 2 | 3 | 1
2 | 4 | 2 | 3 | 1
(6 rows)
通过这个SQL得到了某个像素，这个像素的XYB方向上，还有最多的像素没有被填充。
因此这个像素如果生成一个随机值的话，违反数独的约束（或者叫冲突）的概率是最小的。
postgres=# select * from
unnest(
comp_xyb('{{1,2,3,4},{0,1,1,0},{0,1,1,0},{0,1,1,0}}', 2)
) t
where
t.x+t.y+t.b <> 0
order by
(t.x+t.y+t.b) desc,
greatest(t.x,t.y,t.b) desc
limit 1;
ax | ay | x | y | b
----+----+---+---+---
3 | 1 | 2 | 3 | 2
(1 row)
用AX,ZY坐标值，往矩阵的这个像素填充符合数独条件的随机值，可以大幅提高构造可解数独的概率。
小结
本文先介绍如何得到这样的一个像素，填充一个值进行，这个值的取值区间应该是最大的（最不会与数独的游戏规则违背），从而更大可能的生成一个完整可解的数独。
下面一篇文章再介绍如何生成一个N*N的数独。
参考
http://poj.org/problem?id=3074
NP完全问题近似求解。
